Квадратического отклонения нормального распределения

Доверительный интервал для оценки среднего

Пусть случайная величина X имеет нормальное распределение. Требуется оценить неизвестное среднее квадратическое отклонение по исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению S, а так же найти доверительный интервал, покрывающий среднее квадратическое отклонение с заданной надёжностью .

Считаем, что вероятность попадания случайной оценки S в -окрестность задана и равна .

,

Запишем неравенства в виде:

(1)

Обозначим .

Тогда .

Т.о., случайная величина имеет ограничения:

и

Тогда вероятность попадания в интервал :

,

где f(,n) – плотность вероятности случайной величины .

Таким образом, (предполагаем, что q < 1).

Значения этого интеграла рассчитываются для разных значений n, q, . Задавая значения n и , можно по таблице определить q.

Вернемся к формуле (1). Из нее следует, что:

.

Подставляя вместо случайного значения S полученное по выборке S, находим требуемый интервал .

Пример: Пусть случайная величина X имеет нормальное распределение. Произведена выборка объема n = 25 и найдено исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение S= = 0,8. Найти доверительный интервал, покрывающий с надёжностью = 0,95.

Решение: По таблице зависимости n, q и находим q= =0,32. Тогдадоверительный интервал имеет вид:

ó (0,6;1,18).

Заметим, что если q > 1, то доверительный интервал имеет вид .

Дата добавления: 2014-12-27