Сетевое планирование в условиях неопределённости

В случаях, когда время выполнения работ точно не известно, то есть продолжительность работы является случайной (стохастической) величиной, характеризующейся законом β-распределения с числовыми характеристиками – средним значением, или математическим ожиданием продолжительности работы t_{ож ij} и дисперсией продолжительности работы σ²_ij.

Для определения средней (ожидаемой) длительности работ на основе экспертного опроса даются три временные характеристики (оценки времени выполнения работ):

1. Оптимистическая (минимальная) оценка t_oij;

2. Пессимистическая (максимальная) оценка t_nij;

3. Наиболее вероятная оценка t_н.вij.

Тогда среднее (ожидаемое) время выполнения работы определяется выражением

t_oжij = ,

или, если известны только крайние оценки:

t_oжij = .

Определение степени неопределённости выполнения работ, лежащих на критическом пути для первого подхода

,

для второго подхода

.

Определение вероятности завершения комплекса работ в заданный директивный срок. Для этого необходимо найти аргумент функции нормального распределения Z по формуле

где T_дир – директивный срок завершения работ; L_кр – длительность критического пути; Sσ²_{ij кр} – суммарная дисперсия работ, лежащих на критическом пути.

Максимальный срок выполнения всего комплекса работ Т при заданном уровне вероятности р

.

Допустим, получены следующие оценки длительности работ, на основании которых рассчитано среднее (ожидаемые) время выполнения работ

t_{ож 1-2} = (4 + 4 × 5 + 7) / 6 = 5,167.

Рис. 27. Расчёт ожидаемой продолжительности работ

Длительность критического пути равна 51,3 дня. Для работ критического пути рассчитаем дисперсии

σ²_1-2= (7 – 4)² / 6² = 0,25;

σ²_2-3= 1; σ²_6-7= 0,69; σ²_7-8= 0,25; σ²_8-9= 1; σ²_9-10= 0,25.

При расчёте с помощью программы «Расчёт и оптимизация сетевого графика» из ППП PRIMA, оценки времени выполнения работ t_min и t_max следует располагать в двух смежных столбцах, а для трёх оценок - значения t_min, t_нв и t_max располагаются в трёх смежных столбцах, адреса которых вводятся в программу в окне Время выполнения работ.

Рис. 28. Ввод директивного срока выполнения работ

Допустим, директивный срок выполнения работ установлен в пределах 55 дней, тогда аргумент функции нормального распределения равен

Z = (55–51,3) / (0,25+1+0,69+0,25+1+0,25)^1/2 = 1,976.

Для определения вероятности завершения комплекса работ в заданный директивный срок используют значения функции нормального распределения Р(z):

z	P(z)	z	P(z)	z	P(z)	z	P(z)
0,0	0,50000	1,6	0,94520	-3,0	0,00135	-1,4	0,08076
0,2	0,57926	1,8	0,96407	-2,8	0,00256	-1,2	0,11507
0,4	0,65542	2,0	0,97725	-2,6	0,00466	-1,0	0,15866
0,6	0,72575	2,2	0,98610	-2,4	0,00820	-0,8	0,21186
0,8	0,78814	2,4	0,99180	-2,2	0,01390	-0,6	0,27425
1,0	0,84134	2,6	0,99534	-2,0	0,02275	-0,4	0,34458
1,2	0,88493	2,8	0,99744	-1,8	0,03593	-0,2	0,42074
1,4	0,91924	3,0	0,99865	-1,6	0,05480	0,0	0,50000

Используя таблицу значений функции нормального распределения и метод интерполяции, определяют вероятность выполнения комплекса работ в заданный директивный срок.

Р(z) = 0,964+(1,976–1,8)×(0,977–0,964)/(2,0–1,8) = 0,976.

Для расчёта вероятности можно использовать функцию НОРМСТРАСП из категории Статистические Excel.

Рис. 29. Расчёт вероятности выполнения

всех работ в срок

Максимальный срок выполнения всего комплекса работ Т при заданном уровне вероятности р = 0,95. Для получения величины Z можно использовать функцию НОРМСТОБР из категории Статистические Excel.

Рис. 30. Расчёт вероятного времени выполнения всех

работ

Т = 51,3+1,645× (0,25+1+0,69+0,25+1+0,25)^1/2 ≈ 54,35 дня

Таким образом, с вероятностью 0,95 комплекс работ будет завершен за 54,35 дня.

Зависимость стоимости операции от её

продолжительности в сетевых моделях

Рис. 31. Линейная зависимость

Рис. 32. Нелинейная зависимость

На рис. 30 показана линейная зависимость стоимости операции от ее продолжительности. Точка (Db,Cb), где Db — продолжительность операции, а, С в — ее стоимость, соответ­ствует нормальному режиму выполнения операции. Продолжи­тельность операции можно уменьшить (сжать), увеличив ин­тенсивность использования ресурсов, а следовательно, увели­чив стоимость операции. Однако существует предел, называе­мый минимальной продолжительностью операции. За точкой, соответствующей этому пределу (точка максимально интен­сивного режима), дальнейшее

увеличение интенсивности ис­пользования ресурсов ведет лишь к увеличению затрат без со­кращения продолжительности операции. Этот предел обозна­чен на рис. 31 точкой А с координатами (Da,Ca).

Линейная зависимость "затраты - продолжительность" принимается из соображений удобства, так как ее можно определить для любой операции по двум точкам нормального и максимально интенсивного режимов, т.е. по точкам А и В.

Использование нелинейной зависимости "затраты - продолжительность" существенно усложняет вычисления. Поэтому иногда нелинейную зависимость можно аппроксимировать ку­сочно-линейной (рис. 32), когда операция разбивается на части, каждая из которых соответствует одному линейному отрезку. Следует отметить, что наклоны этих отрезков при переходе от точки нормального режима к точке максимально интенсивного режима возрастают. Если это условие не выпол­няется, то аппроксимация не имеет смысла.

Определив зависимость "затраты - продолжительность", для всех операций сети принимают нормальную продолжи­тельность. Далее рассчитывается сумма затрат на все опе­рации сети при этой продолжительности работ. На следую­щем этапе рассматривается возможность сокращения продол­жительности работ. Этого можно достичь за счет уменьшения продолжительности какой-либо критической операции, только критические операции и следует подвергать анализу.

Чтобы добиться сокращения продолжительности выполне­ния работ при минимально возможных затратах, необходи­мо в максимально допустимой степени сжать ту критическую операцию, у которой наклон кривой "затраты - продолжитель­ность" наименьший. В результате сжатия критической опе­рации получают новый календарный график, возможно, с но­вым критическим путем. Стоимость работ при новом кален­дарном графике будет выше стоимости работ по предшест­вующему графику. На следующем этапе этот новый график вновь подвергается сжатию за счет следующей критической операции с минимальным наклоном кривой "затраты - продолжительность" при условии, что продолжительность этой опе­рации не достигла минимального значения. Подобная проце­дура повторяется, пока все критические операции не будут находиться в режиме максимальной интенсивности. Получен­ный таким образом оптимальный календарный график соот­ветствует минимуму прямых затрат.

Дата добавления: 2014-12-27