Массового обслуживания

Производственных ресурсов в системах

Определение эффективности использования трудовых и

Рассмотрим задачу с использованием СМО с неограничен­ным ожиданием.

Пример 1. Сберкасса имеет трех контролеров-кассиров (п = 3) для обслуживания вкладчиков. Поток вкладчиков посту­пает в сберкассу с интенсивностью λ = 30 чел./ч. Средняя продолжительность обслуживания контролером-кассиром од­ного вкладчика _обс = 3 мин.

Определить характеристики сберкассы как объекта СМО.

РЕШЕНИЕ. Интенсивность потока обслуживания n = 1/ _обс = 1/3 = 0,333, интенсивность нагрузки р = 1,5.

1. Вероятность простоя контролеров-кассиров в течение рабочего дня

2. Вероятность застать всех контролеров-кассиров занятыми:

3. Вероятность очереди:

4. Среднее число заявок в очереди:

5. Среднее время ожидания заявки в очереди:

мин.

6. Среднее время пребывания заявки в СМО:

t_смо= 0,472 + 3 = 3,472 мин.

7. Среднее число свободных каналов:

n_cв= 3 - 1,5 = 1,5.

8. Коэффициент занятости каналов обслуживания:

9. Среднее число посетителей в сберкассе:

z = 0,236 + 1,5 = 1,736 чел.

Ответ. Вероятность простоя контролеров-кассиров рав­на 21% рабочего времени, вероятность посетителю оказаться в очереди составляет 11,8%, среднее число посетителей в очереди 0,236 чел., среднее время ожидания посетителями обслужива­ния 0,472 мин.

Рассмотрим задачу с применением СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди.

Пример 2. Магазин получает ранние овощи из пригородных теплиц. Автомобили с грузом прибывают в разное время с ин­тенсивностью λ = 6 машин в день. Подсобные помещения и оборудование для подготовки овощей к продаже позволяют об­рабатывать и хранить товар, привезенный двумя автомаши­нами (т = 2). В магазине работают три фасовщика (n = 3), каждый из которых в среднем может обрабатывать товар с од­ной машины в течение _обс = 4 ч. Продолжительность рабочего дня при сменной работе составляет 12 ч.

Определить, какова должна быть емкость подсобных по­мещений, чтобы вероятность полной обработки товаров была Р ^*_обс ≥ 0,97:

Решение. Определим интенсивность загрузки фасовщи­ков:

a = λ/μ = 6/3 = 2, μ = 1/ _обс = 1∙12/4 = 3 авт./ дн.

1. Найдём вероятность простоя фасовщиков при отсут­ствии машин (заявок):

{ } = 0,128,

причем 0! = 1,0.

2. Вероятность отказа в обслуживании:

3. Вероятность обслуживания:

Р_обс = 1 - 0,075 = 0,925.

Так как Р_обс = 0,925 < Р ^*_обс = 0,97, произведем аналогич­ные вычисления для т = 3, получим

Р₀ = 0,122, Р_отк = 0,048, Р_обс = 0,952.

Так как Р_обс = 0,952 < Р ^*_обс = 0,97, примем т = 4.

Для этого случая

Р₀ = 0,12, Р_отк = 0,028, Р_обс = 0,972,

0,972 > 0,97, емкость подсобных помещений необходимо увели­чить до т = 4.

Для достижения заданной вероятности обслуживания мож­но увеличивать число фасовщиков, проводя последовательно вычисления СМО для п = 4, 5 и т.д. Задачу можно решить, увеличивая емкость подсобных помещений, число фасовщиков, уменьшая время обработки товаров.

Найдем остальные параметры СМО для рассчитанного слу­чая при Р₀ = 0,12, Р_отк = 0,028, Р_обс = 0,972.

4. Абсолютная пропускная способность:

А = 0,972 × 6 = 5,832 авт./дн.

5. Среднее число занятых обслуживанием каналов (фасовщиков):

n_зан = 5,832/3 = 1,944.

6. Среднее число заявок в очереди:

7. Среднее время ожидания обслуживания:

дн.

8. Среднее число машин в магазине:

z = 0,548 + 1,944 = 2,492 авт.

9. Среднее время пребывания машины в магазине:

дн.

Ответ. Емкость подсобных помещений магазина должна вмещать товар, привезенный 4 автомашинами (m = 4), при этом вероятность полной обработки товара будет Р_обс = 0,972.

УПРАЖНЕНИЯ

Решить следующие задачи в предположении, что поток посту­пающих заявок является простейшим и длительность обслужи­вания одной заявки распределена по показательному закону.

2.1. Дежурный по администрации города имеет пять телефонов. Телефонные звонки поступают с интенсивностью 90 заявок в час, средняя продолжительность разговора составляет 2 мин.

Определить показатели дежурного администратора как объек­та СМО.

2.2. На стоянке автомобилей возле магазина имеются 3 места, каждое из которых отводится под один автомобиль. Автомобили прибывают на стоянку с интенсивностью 20 автомобилей в - час. Продолжительность пребывания автомобилей на стоянке составляет в среднем 15 мин. Стоянка на проезжей части не разрешается.

Определить среднее количество мест, не занятых автомобиля­ми, и вероятность того, что прибывший автомобиль не найдет на стоянке свободного места.

2.3. АТС предприятия обеспечивает не более 5 переговоров
одновременно. Средняя продолжительность разговоров составляет 1 мин. На станцию поступает в среднем 10 вызовов в с.

Определить характеристики АТС как объекта СМО.

2.4. В грузовой речной порт поступает в среднем 6 сухогрузов в сутки. В порту имеются 3 крана, каждый из которых обслуживает 1 сухогруз в среднем за 8 ч. Краны работают круглосуточно.

Определить характеристики работы порта как объекта СМО и в случае необходимости дать рекомендации по улучшению его работы.

2.5. В службе "Скорой помощи" поселка круглосуточно дежурят 3 диспетчера, обслуживающие 3 телефонных аппарата. Если заявка на вызов врача к больному поступает, когда диспетчеры заняты, то абонент получает отказ. Поток заявок составляет 4 вызова в минуту. Оформление заявки длится в среднем 1,5 мин.

Определить основные показатели работы службы "Скорой по­мощи" как объекта СМО и рассчитать, сколько потребуется телефонных аппаратов, чтобы удовлетворить не менее 90% по­ступающих вызовов врачей.

2.6. Салон-парикмахерская имеет 4 мастера. Входящий по-
ток посетителей имеет интенсивность 5 человек в час. Среднее время обслуживания одного клиента составляет 40 мин.

Определить среднюю длину очереди на обслуживание, считая ее неограниченной.

2.7. На автозаправочной станции установлены 2 колонки для выдачи бензина. Около станции находится площадка на 2 автомашины для ожидания заправки. На станцию прибывает в среднем одна машина в 3 мин. Среднее время обслуживания одной машины составляет 2 мин.

Определить характеристики работы автозаправочной станции как объекта СМО.

2.8. На вокзале в мастерской бытового обслуживания рабо­тают три мастера. Если клиент заходит в мастерскую, когда все мастера заняты, то он уходит из мастерской, не ожидая обслуживания. Среднее число клиентов, обращающихся в мас­терскую за 1 ч, равно 20. Среднее время, которое затрачивает мастер на обслуживание одного клиента, равно б мин. Определить вероятность того, что клиент получит отказ, бу­дет обслужен, а также среднее число клиентов, обслуживаемых мастерской в течение 1 ч, и среднее число занятых мастеров.

2.9. АТС поселка обеспечивает не более 5 переговоров одновременно. Время переговоров в среднем составляет около 3 мин. Вызовы на станцию поступают в среднем через 2 мин.

Определить вероятность того, что заявка получит отказ, среднее число занятых каналов, абсолютную пропускную способ­ность АТС.

2.10. На автозаправочной станции (АЗС) имеются 3 колонки. Площадка при станции, на которой машины ожидают заправ­ку, может вместить не более одной машины, и если она занята, то очередная машина, прибывшая к станции, в очередь не ста­новится, а проезжает на соседнюю станцию. В среднем маши­ны прибывают на станцию каждые 2 мин. Процесс заправки одной машины продолжается в среднем 2,5 мин. Определить вероятность отказа, абсолютную пропускную спо­собность АЗС, среднее число машин, ожидающих заправку, среднее время ожидания машины в очереди, среднее время пре­бывания машины на АЗС (включая обслуживание).

2.11. В небольшом магазине покупателей обслуживают два продавца. Среднее время обслуживания одного покупателя — 4 мин. Интенсивность потока покупателей — 3 человека в ми­нуту. Вместимость магазина такова, что одновременно в нем в очереди могут находиться не более 5 человек. Покупатель, при­шедший в переполненный магазин, когда в очереди уже стоят 5 человек, не ждет снаружи и уходит.

Определить вероятность того, что пришедший в магазин по­купатель покинет магазин необслуженным.

2.12. Железнодорожную станцию дачного поселка обслуживает касса с двумя окнами. В выходные дни, когда население активно пользуется железной дорогой, интенсивность потока пассажиров составляет 0,9 чел./мин. Кассир затрачивает на обслуживание пассажира в среднем 2 мин.

Определить среднее число пассажиров y кассы и среднее время, затрачиваемое пассажиром на приобретение билета.

Тема 3. МОДЕЛЬ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА

Важнейшим условием нормального развития национального хозяйства является сбалансированность общественного производства на всех уровнях. Эффективным аппаратом для определения сбалансированных пропорций развития являются балансовые модели производства и распределения продукции. Использование балансовых моделей помогает органам государственного управления экономикой способствовать предупреждению возникновения диспропорций в развитии отраслей национальной экономики.

Балансовые модели составляются для экономических систем разных уровней. Например, на уровне национального хозяйства используется модель межотраслевого баланса производства и распределения продукции, а на уровне предприятия – модель межпродуктового баланса.

Суть балансовой модели состоит в том, что затраты должны компенсироваться доходами. Данный метод позволяет для каждой отрасли определить количество продукции, которое она должна выпустить, чтобы удовлетворить потребность всех других отраслей, включая непроизводственную сферу и потребности внешней торговли. Рассмотрим балансовую модель в стоимостном выражении.

Характеристика основных разделов и схема

Дата добавления: 2014-12-27