Расчёт показателей качества функционирования систем массового обслуживания

Чтобы улучшить работу СМО путем изменения ее организации, необходимо рассчитать показатели качества её функционирования при существующем варианте организации и при других возможных вариантах и на основе этих расчетов принять решение.

А. Система обслуживания с потерями (отказами)

Вероятность того, что в обслуживающей системе находится точно k требований, т.е. занято k обслуживающих аппаратов:

Р_k = Р ₀, (2.8)

где k – число требований в системе (k = 1, 2, 3, …, n); n – число обслуживающих аппаратов; Р ₀ – вероятность того, что в системе нет ни одного требования.

Вероятность того, что все обслуживающие аппараты свободны (простаивают):

Р ₀ = ()^{-1 .} (2.9)

Вероятность отказа в обслуживании. Отказ происходит в случае, когда все обслуживающие аппараты заняты. Тогда вероятность отказа равна вероятности того, что все аппараты заняты, или вероятности того, что в системе находится ровно n требований:

Р _отказа = P_n = ()^-1. (2.10)

Относительная пропускная способность и вероятность того, что пришедшая заявка будет обслужена

Q = P_обс = 1 – P_отк = 1 – P_n. (2.11)

Абсолютная пропускная способность и интенсивность выходящего потока обслуженных заявок

A = l× Q = l× (1 – P_n). (2.12)

Степень загрузки системы характеризуется средним числом занятых обслуживающих аппаратов

М = = a× (1 – P_n). (2.13)

Коэффициент загрузки обслуживающего аппарата

К_заг = М / n. (2.14)

Пример. В механическом цехе на одном участке работают 3 контролёра. Если деталь поступает в ОТК, когда контролёры заняты, она уходит на склад готовой продукции, не ожидая контроля. Известно, что среднее число деталей, поступающих в ОТК в течение 1 ч. равно 24, а среднее время обслуживания равно 5 мин. Какова вероятность того, что деталь не будет проконтролирована и насколько будут загружены контролёры работой

Решение. n = 3, l = 24, = 5 мин = ч.,

n = = 12, a = = = 2, n ³ a.

Р_отказа = = + )^-1 =

= × (1+ 2 + 2 + )^-1 = × ()^-1 = = 0,21.

Вероятность отказа 0,21 означает, что из 100 деталей в среднем ОТК пройдет 79 деталей и не пройдет 21 деталь.

Определим степень загрузки контролёров

М = = 0 × Р₀ + 1 × Р₁ + 2 × Р₂ + 3 × Р₃.

Расчеты представлены в следующей таблице.

Таблица 2.1

Число занятых контролеров	Рk/Ро=	Рk = × Р0	k × Рk
		0,16
		0,32	0,32
		0,32	0,64
	4/3	0,21	0,63
S	19/3	» 1	1,59

Р₀ = ()^-1 = 0,16;

М = 1,59 означает, что полностью занято более полутора контролёров.

Коэффициент загрузки одного контролёра

К_заг = = 0,53,

т.е. каждый контролёр в среднем занят более половины дня.

Для автоматизации расчёта характеристик системы массового обслуживания возможно использование программы «Теория массового обслуживания» из ППП PRIMA (рис. 46).

Рис. 46. Ввод исходных данных СМО в диалоговую форму

Выбор модели СМО осуществляется с помощью закладки Параметры. Для этого необходимо выделить требуемый вид модели и нажать кнопку Выбор (рис. 47). Исходными данными для многоканальной системы массового обслуживания с отказами являются: интенсивность входного потока l, интенсивность обслуживания n и число каналов обслуживания n (рис. 46). Результаты расчётов характеристик СМО с отказами в ППП PRIMA представлены на рис. 48.

Рис. 47. Выбор модели СМО

Рис. 48. Результаты расчётов характеристик СМО с отказами

Б. Система обслуживания с ожиданием или без потерь

(замкнутая система массового обслуживания)

Вероятность того, что в системе занято k обслуживающих аппаратов при условии, что число требований, находящихся в системе, не превосходит числа обслуживающих аппаратов, т.е. когда очереди нет:

Р_k = × a^k × Р₀, (0 £ k £ n), (2.15)

где k– число требований; n – число обслуживающих аппаратов; m – наибольшее возможное число требований, находящихся в обслуживаемой системе одновременно.

Вероятность того, что в системе находится k требований для случая, когда их число больше числа обслуживающих аппаратов, т.е. когда есть очередь:

Р_k = ×a^k × Р₀, (n < k £ m). (2.16)

Вероятность того, что все обслуживающие аппараты свободны:

Р₀ = ( ×a^k + × a^k)^-1. (2.17)

Введем обозначения для краткой записи () и (), тогда

Р₀ = ( + )^-1. (2.18)

Среднее число требований, ожидающих начала обслуживания, т.е. средняя длина очереди

М₁ = × Р_k. (2.19)

Коэффициент простоя обслуживаемого требования в ожидании обслуживания

К₁ = . (2.20)

Среднее число требований, находящихся в обслуживающей системе, т.е. в очереди и в обслуживании

М₂ = × Р_k. (2.21)

Коэффициент простоя обслуживаемого требования в обслуживающей системе

К₂ = . (2.22)

Среднее число свободных обслуживающих аппаратов

М₃ = × Р_k. (2.23)

Коэффициент простоя обслуживающего аппарата

К₃ = . (2.24)

Пример. Два рабочих обслуживают группу из 9 станков. В среднем каждый станок останавливается один раз в час. Обслуживание одного станка занимает у рабочего в среднем 6 мин. Определить основные характеристики эффективности функционирования системы массового обслуживания.

Решение. n = 2, m = 9, l = 1, = 6 мин = 0,1 ч.,

n = = 10, a = = 0,1.

В любой момент времени система находится в одном из своих возможных состояний:

k = 0 – все станки работают, очереди нет;

k = 1 – один станок обслуживается, очереди нет;

k = 2 – два станка обслуживаются, очереди нет;

k = 3 – два станка обслуживаются, один в очереди, остальные работают;

…………………………..………………………………

k = 9 – два станка обслуживаются, семь в очереди на обслуживание, т.е. ни один станок не работает.

Этим состояниям системы соответствуют вероятности:

Р₀, Р₁, Р₂, Р₃, …, Р₉.

Определим значения для случая, когда очереди нет

(0 £ k £ 2):

b₀ = × 0,1° = 1; b₁ = × 0,1¹ = 0,9; b₂ = × 0,1² = 0,36.

Определим значения для случая, когда очередь есть

(3 £ k £ 9):

b₃ = × 0,1³ = 0,126; … b₉= × 0,1⁹ = 0,0000014175.

Вероятность того, что в системе не будет ни одного требования:

Р₀ = (2,43545)^-1 = 0,4106.

Среднее число станков, стоящих в очереди:

М₁ = × Р_k = 0,098.

Это означает, что в среднем из 9 станков 0,098 простаивают в очереди на обслуживание.

Коэффициент простоя станка в очереди

К₁ = = 0,011.

Это означает, что в среднем каждый станок 1,1 % времени простаивает в очереди.

Среднее число простаивающих станков (в очереди и обслуживании)

М₂ = × Р_k = 0,907.

Это означает, что в среднем 95 % рабочего времени 1 станок из 9 не будет работать.

Коэффициент простоя станка в системе обслуживания

К₂ = = 0,1008.

Это означает, что 10,08 % времени в среднем будет простаивает каждый станок из 9.

Среднее число свободных обслуживающих аппаратов (рабочих)

М₃ = × Р_k = 1,1907.

Это означает, что из двух человек в среднем один всегда свободен, а другой свободен в течение 18,6 % времени.

Коэффициент простоя рабочего

К₃ = = 0,595.

Это означает, что в среднем каждый рабочий 59,5 % рабочего времени простаивает без работы.

Результаты расчетов представлены в таблице 2.2.

Для автоматизации расчёта характеристик многоканальной замкнутой системы массового обслуживания возможно использование программы «Теория массового обслуживания» из ППП PRIMA. Выбор вида модели осуществляется в закладке Параметры и завершается нажатием кнопки Выбор (рис. 49).

Рис. 49. Выбор модели СМО

Таблица 2.2

Число требований, k	Число требований, ожидающих обслуживания, k - n	Число свободных рабочих, n - k	и	Рk=bk×Р0	(k-n) Рk	k×Рk	(n-k) Рk
	-			0,4106	-	-	0,8212
	-		0,9	0,3695	-	0,3695	0,3695
2	-	-	0,36	0,1478	-	0,2956	-
		-	0,126	0,0517	0,0517	0,1551	-
		-	0,0378	0,0155	0,031	0,062	-
		-	0,00945	0,00388	0,01164	0,0194	-
		-	0,00189	0,000776	0,003104	0,004656	-
		-	0,0002835	0,0001164	0,000582	0,0008148	-
		-	0,0002835	0,0000116	0,0000696	0,0000928	-
		-	0,0000014175	0,0000005	0,0000035	0,0000045	-
S	-	-	2,43545	-	0,098	0,907	1,1907

В качестве исходных данных многоканальной замкнутой модели СМО следует ввести интенсивность входного потока требований и интенсивность обслуживания, число каналов обслуживания и число источников требований (максимально возможное число заявок в системе (рис. 50).

Рис. 50. Ввод исходных данных СМО в диалоговую форму

Результаты расчёта характеристик замкнутой многоканальной системы массового обслуживания представлены на рис. 51.

Рис. 51. Расчёт характеристик замкнутой СМО

СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди

Основные понятия. Заявка, поступившая в систему с ожиданием с ограничен­ной длиной очереди и нашедшая все каналы и ограниченную очередь занятыми, покидает систему необслуженной.

Основной характеристикой качества системы является от­каз заявке в обслуживании.

Ограничения на длину очереди могут быть из-за:

1) ограничения сверху времени пребывания заявки в оче­реди;

2) ограничения сверху длины очереди;

3) ограничения общего времени пребывания заявки в сис­теме.

Формулы для установившегося режима

1. Вероятность простоя каналов обслуживания, когда нет заявок (к = 0):

2. Вероятность отказа в обслуживании:

3. Вероятность обслуживания:

4. Абсолютная пропускная способность:

5. Среднее число занятых каналов:

6. Среднее число заявок в очереди:

7. Среднее время ожидания обслуживания:

8. Среднее число заявок в системе:

9. Среднее время пребывания в системе:

Дата добавления: 2014-12-27