Интегралы уравнения движения

Известны следующие важные частные случаи, когда уравнение (4.4) может быть проинтегрировано: а) движение потенциальное, б) движение установившееся.

Используя соотношение векторного анализ , уравнение движения можно представить в виде (в форме Громеки-Лэмба)

(4.10)

Введем функцию .

При неустановившемся безвихревом движении , . Тогда

или

(4.11)

Выражение (4.11) известно под названием интеграла Лагранжа-Коши.

В случае установившегося движения из уравнения (4.10) следует:

(4.12)

Если при установившемся движении или рассматриваются случаи движения вдоль линии тока или вдоль вихревой линии, когда , векторное произведение . При этом

(4.13)

Выражение (4.13) известно под названием интеграла Бернулли.

Ввиду важных в практическом отношении приложений интеграла Бернулли, ниже приводятся его некоторые известные формы.

Принимая во внимание, что изэнтропическое движение идеального газа отвечает условию , функцию можно представить в виде

(4.14)

Учитывая, что скорость звука в идеальном газе , интеграл (4.13) приводится к виду

(4.15)

Представляет интерес оценка давления «заторможенного» потока газа. Искомое давление нетрудно найти, используя интеграл (4.15). Представим его в виде

(4.16)

Здесь через обозначено значение скорости звука в той точке, где скорость газа равна нулю.

Принимая во внимание, что , уравнение (4.16) преобразуется к виду

(4.17)

или

(4.18)

§ 4.4. Одномерное изэнтропическое движение гaза. Инварианты Римана

Одномерное неустановившееся течение газа – наиболее простой случай движения. Тем не менее, он позволяет выяснить ряд физических закономерностей неустановившихся движений.

Рассматриваемое движение газа определяется системой уравнений (4.9). В случае движения с плоской симметрией она дополнительно упрощается:

, (4.19)

где , , - давление, плотность и массовая скорость газа.

Следуя К.П. Станюковичу, приведем систему (4.19) к более удобному для последующих исследований виду [2].

Согласно (4.14) функция , следовательно,

Кроме того, так как при изэнтропическом движении = , то или .

Подставляя значения , соответственно в первое и второе уравнения системы (4.19), домножая второе уравнение почленно на «», получаем:

(4.20)

(4.21)

Данная система уравнений замыкается адиабатой Пуассона .

Решение системы уравнений (4.20), (4.21) приведено в [2]. Ниже рассматривается решение этой системы в изложении Ю.С. Яковлева [4].

Системы дифференциальных уравнений в частных производных обычно решаются с помощью метода характеристик.

На кривой выполняются соотношения: Установим ограничения, накладываемые на рассматриваемую систему вследствие того, что на кривой «» ее решение должно отвечать заданным значениям , . С этой целью подставим частные производные

Пусть в плоскости , задана кривая «», рис. 24, и на этой кривой известны функции , . Необходимо найти интегралы (решения) системы (4.20)-(4.21), которые на кривой обращались бы в заданные значения. Иначе говоря, необходимо найти интегральную поверхность, удовлетворяющую рассматриваемой системе уравнений и проходящей через кривую (задача Коши).

;

в исследуемые уравнения:

(4.22)

Остановимся на определении , . Имеем

; ,

где , , - соответствующие определители системы (4.22).

В процессе оценки величин , возможны следующие основные случаи:

1. , ,

2. , ,

3. , , .

В первом случае имеется место вполне определенное значение производных в точке и в ее окрестности вдоль кривой «». Задача Коши имеет единственное решение.

Во втором случае значения производных бесконечны. Кривую «» в окрестности точки называют линией разрыва.

В третьем случае существует бесчисленное множество значений производных , , отвечающих рассматриваемой системе. Задача Коши не имеет единственного решения. Направление касательной к кривой «» в точке называют характеристическим направлением.

Кривую «», в каждой точке которой направление касательной отвечает характеристическому направлению, называют характеристикой. Известно, что решение уравнений характеристик эквивалентно решению исходной системы уравнений.

Уравнения характеристик системы (4.22) можно записать, приравняв нулю определители

(4.23)

Раскрыв определитель , получаем

Видно, что этот определитель обращается в ноль в следующих случаях:

(4.24)

Из уравнений (4.24) следует, что характеристики распространяются со звуковой скоростью.

Рассмотрим определитель

При получаем соответственно:

(4.25)

Необходимо отметить, что соотношение выполняется на характеристике , соотношение - на характеристике .

Равенство нулю определителя приводит к соотношения, аналогичным (4.25).

Так как на кривой L значения = , = , принято называть характеристикой первого семейства и условиями на этой характеристике соответственно соотношения:

(4.26)

(4.27)

Аналогично характеристикой второго семейства и условиями на характеристике называют соотношения:

(4.28)

(4.29)

Следует отметить, что соотношения (4.27), (4.29) можно получить другим способом.

Умножая уравнение (4.20) на сомножитель , вычитая и складывая затем полученное уравнение с уравнением (4.21), получаем:

(4.30)

Возможным решением первого уравнения будет , второго .

Кратко о физике процессов, описываемых соотношениями (4.26)-(4.29). Видно, что согласно (4.26), (4.27) состояние среды, определяемое величиной , распространяется в виде волнового возмущения со скоростью в положительном направлении оси по течению среды, а состояние, определяемое согласно (4.28), (4.29) величиной , распространяется со скоростью против течения среды. При этом распространение возмущений при дозвуковой скорости будет происходить как в положительном, так и отрицательном направлении по оси , при сверхзвуковой скорости возмущения будут сноситься течением, и распространение их будет происходить только в положительном направлении оси . Волны одного направления, проходя через волны другого направления, будут взаимодействовать и, следовательно, распространение волн противоположных направлений в общем случае не будет независимым.

Со скоростью звука в среде распространяются малые возмущения. Они могут распространяться в виде волн сжатия и волн разрежения. Волнами сжатия называются такие движения среды, когда при движении каждого элемента среды давление в нем возрастает. Наоборот, когда в процессе движения в каждом элементе среды давление падает, имеют место волны разрежения.

Особые решения уравнений (4.19) (или (4.20)-(4.21)). Пусть движение таково, что вдоль одной из характеристик (например, 1-го семейства) в плоскости , величины скорости и скорости звука сохраняют постоянное значение. Согласно (4.26) такая характеристика будет прямой, так как на ней . Обазначим эту характеристику АВ.

Рассмотрим далее характеристики 2-го семейства . Пусть они пересекают рассматриваемую характеристику первого семейства в точках . Для данных характеристик справедливо соотношение

, 1 < I < n (4.31)

Но в точках величины и a одинаковы. Следовательно, постоянными будут и числа . Таким образом, соотношение будет выполняться не только вдоль заданной характеристики, но и во всей области.

Следует отметить, что в рассматриваемом случае не только характеристика будет прямолинейна в плоскости , , но и другие характеристики 1-го семейства будут прямыми. Действительно, вдоль каждой такой характеристики согласно (4.27) (на каждой свое ), но, кроме того, во всей области выполняется . Таким образом, величины и на характеристиках первого семейства будут связаны двумя алгебраическими соотношениями. Отсюда вследствие (4.26) и вытекает справедливость данного утверждения.

Вернемся к интегрированию системы уравнений (4.20), (4.21). Вычислив из соотношения величину и подставив ее в (4.21), находим

(4.32)

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка эквивалентно следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений:

(4.33)

Отсюда

или

Полагая , находим

(4.34)

И, кроме того,

(4.35)

Предположив аналогично, что на характеристике второго семейства величины скоростей частиц газа и скорости звука сохраняют постоянное значение, можно получить:

(4.36)

(4.37)

Подставляя в соотношения (4.34), (4.36) значения и из (4.35) м (4.37), можно получить:

(4.38)

(4.39)

Решение (4.38), (4.39) получено Риманом [2]. При этом решение (4.38) называется прямой волной одного направления, а решение (4.39) - обратной волной одного направления.

Если система координат выбрана так, что положительное направление оси х совпадает с направлением движения волны, то ее движение описывается соотношениями (4.38), а если волна бежит в обратном направлении, то пользуются соотношениями (4.39).

Отдельно следует отметить, что вторые соотношения решения (4.38) и (4.39) называются инвариантами Римана.

Известно, что общие решения двух дифференциальных уравнений в частных производных должны зависеть от двух произвольных функций. Полученные решения, зависящие от одной произвольной функции, представляют собой особые решения. Важным свойством решений (4.38), (4.39) является то обстоятельство, что движения, характеризуемые прямой и обратной волнами одного направления, могут сопрягаться с областью покоя или, в более общем случае, - с областью установившегося движения среды.

Соотношения (4.38), (4.39) используются при решении целого ряда задач.

Пусть, например, в трубе находится газ, подчиняющийся адиабате Пуассона и ограниченный слева поршнем. В некоторый момент времени поршень начинает выдвигаться (двигаться справа налево), причем в начальный момент времени скорость поршня равна нулю, газ находится в покое. Требуется исследовать движение газа.

Поместим начало системы координат в точку, отвечающую положению поршня в момент покоя; ось направим вправо. При выдвижении поршня образуется волна разрежения, распространяющаяся по газу в положительном направлении оси . Состояние покоя в начальный момент времени означает, что , скорость звука . Следовательно, в плоскости характеристики первого семейства будут прямолинейны, рис 25. Характеристикой, отделяющей невозмущенную среду от области движения, является

При этом , так как при величина .

Рис. 25. Семейство характеристик Рис. 26. Семейство характеристик

волны разрежения волны сжатия

Рассматриваемому случаю отвечает особое решение (4.38)

,

где (из условия на характеристике, отделяющей невозмущенную среду и область движения).

Отсюда

(4.40)

Функция находится с помощью закона движения поршня. При движении поршня каждое его элементарное смещение порождает элементарное волновое возмущение разрежения, которое распространяется со скоростью , причем вектор направлен по ходу движения поршня.

Представленные на рис. 25. характеристики 1-го семейства могут быть записаны в виде

(4.41)

В качестве величины на каждой из характеристик (4.41) можно взять скорость поршня , то есть . В этом случае = . Для каждого фиксированного значения данное соотношение определяет прямую линию в плоскости . При этом, чем больше величина , тем меньше скорость распространения возмущений, так как , и в плоскости получается веер расходящихся характеристик.

По мере увеличения скорости поршня разрежение за ним увеличивается и соответственно уменьшается скорость звука , так как . Если , то . В этот момент за поршнем образуется вакуум (). Следовательно, при скорости поршня поршень отрывается от газа и никак уже не влияет на его движение - происходит «разлет газа в пустоту».

Пусть, наоборот, поршень ускоренно вдвигается в трубу, рис.26. При выбранной системе координат движение газа также описывается решением (4.38).

При таком движении каждое элементарное смещение поршня порождает элементарное волновое возмущение сжатия, которое распространяется слева направо со скоростью . При этом каждая последующая элементарная волна будет распространяться по более сжатому предыдущей волной газу, вследствие чего амплитуда волны будет возрастать.

В отличие от случая выдвижения поршня здесь и, следовательно, , . Видно, чем больше , тем больше величина скорости распространения возмущений . Поэтому в плоскости получается веер сходящихся характеристик, которые, в конце концов, пересекутся, рис. 26.

Сходящийся пучок характеристик указывает на тенденцию формирования качественно нового физического процесса – ударной волны (поскольку вдоль каждой из них скорость остается постоянной, а в точке пересечения будет иметь место многозначная функция ). Условия возникновения ударных волн рассматриваются в следующем параграфе.

Дата добавления: 2014-12-27