Косое падение ударной волны на твердую поверхность

Косое падение (падение под углом) ударной волны на твердую поверхность – сложный газодинамический процесс. Его рассмотрение целесообразно начать с более простого случая падения волны бесконечно малой амплитуды. В такой постановке задача отражения волн называется задачей акустического приближения.

Пусть плоская акустическая волна падает на абсолютно жесткую поверхность в точке "О", причем фронт волны составляет угол a с границей. Параметры среды за фронтом волны обозначим через ,V, p, . В момент встречи ударной волны со стеной возникает отраженная волна с параметрами ’,V ‘, p’, , рис35.

N’ V

V ‘cosa’ V cosa

V ‘ a’ a N

A B

^O

Рис. 35. Схема отражения акустических волн

Нормальная составляющая скорости частиц воздуха на стенке по условиям задачи (стенка абсолютно жесткая) равна нулю. Иначе говоря, на стенке должно выполняться соотношение

V -V ‘ (4.95)

В случае малых возмущений как прямая, так и отраженные волны распространяются со скоростью, равной скорости звука, то есть , при этом .

Фронты падающей и отраженной волн имеют общую точку пересечения "О" на границе АВ. Скорость перемещения этой точки вдоль границы определяется по соотношению

(4.96)

Из данного равенства следует известный закон акустического отражения, согласно которому . Но тогда и V= V ‘. А так как согласно (4.49) давление на фронте волны определяется соотношением V, V ‘, то .

В точке "О" имеет место сложение волн. При этом давление на стенке независимо от направления распространения падающей волны (кроме случая a=p/2) всегда будет равно . При a=p/2 отражение волны не происходит; волна скользит вдоль стенки и давление на стенке равно .

Сформулированное следствие о величине давления на стенке при падении акустической волны известно под названием акустического парадокса.

Самостоятельный интерес представляет случай, когда волна отражается не от абсолютно жесткой стенки, а от границы раздела двух сжимаемых

сред. Здесь, кроме прямой и отраженной волн, образуется преломленная волна, распространяющаяся во второй среде, рис. 36.

N’ V

V ‘ N

a’ a

A V “ a” O B

Рис. 36. Схема падения акустической волны на границу раздела двух сжимаемых сред

Так как точка "О" является общей для всех трех волн, ее скорость движения вдоль границы АВ определяется по соотношению

(4.97)

Соотношение (4.97) известно как закон Снеллиуса. Как и в первом случае, здесь справедлив закон отражения , а также имеют место соотношения V, V ‘, V “.

Следует отметить, что произведение , являющееся коэффициентом пропорциональности между давлением и скоростью частиц, называется акустическим сопротивлением среды.

Непрерывность давления и скорости движения частиц на границе раздела сред требует выполнения равенств:

(4.98)

V - V ‘ =V “

Отсюда нетрудно получить

или

(4.99)

Принимая во внимание, что , находим

(4.100)

Используя соотношение , следующее из закона Снеллиуса, формулы (4.100) можно привести к виду

(4.101)

Анализ последних соотношений показывает, что если а” < а₀ , то при любых углах падения прямой волны имеют место отраженная и преломленная волны.

При а”>а₀ правые части соотношений (4.101), называемые часто коэффициентами отражения и преломления, действительны только в определенном диапазоне углов падения .

Угол = называется углом полного внутреннего отражения.

При > коэффициент отражения становится комплексным с модулем равным единице. Это означает, что поток энергии через границу раздела двух сред отсутствует. Преломленная волна не формируется, волновые возмущения, возникшие у поверхности раздела, быстро затухают по амплитуде по мере увеличения глубины проникновения вторую среду.

При прямом падении волны по нормали к поверхности формулы (4.101), (4.102) принимают особенно простой вид

(4.102)

Основные следствия решения (4.101), (4.102).

1. При отражении волны, распространяющейся в воздухе, от среды, акустическое сопротивление которой больше акустического сопротивления воздуха, отраженная волна является волной сжатия p’/p >0, при этом давление во фронте преломленной волны будет больше, чем давление в прямой волне.

2. При отражении той же волны от среды, акустическое сопротивление которой меньше акустического сопротивления воздуха, отраженная волна будет волной разрежения p’/p <0, при этом давление во фронте преломленной волны будет меньше, чем давление во фронте прямой волны.

3. Отдельно можно отметить, что отраженная волна не возникает не только тогда, когда тождественно равны между собой акустические свойства сред. Приравняв нулю числитель второго соотношения (4.101), можно получить при .

Рассмотрим далее отражение от жесткой стенки ударной волны конечной амплитуды.

Пусть угол падения прямой волны равен (как и в случае, представленном на рис. 35). Равенство нулю нормальной составляющей скорости частиц на стенки приводит к соотношениям:

V_ф - V_отр =0

(4.103)

Отличие от ранее рассмотренного случая состоит в том, что здесь , и скорости перемещения ударных волн отличаются от скорости звука в невозмущенной среде а₀ .

Два уравнения (4.103) включают 6 переменных: , V_ф, , V_отр, , . Для их определения, необходимо, кроме уравнений (4.103), дополнительно привлечение соотношений (4.54), (4.91), однозначно связывающих величины , V_ф, , V_отр с давлением падающей волны .

Согласно [2,4], численное решение системы уравнений (4.103), (4.54), (4.91), при заданных интенсивности прямой волны и угле падения дает два значения угла и, следовательно, два значения соответствующих ему величин V_отр и . Последние параметры определяют два значения . Только в предельном случае бесконечно слабых волн имеет место равенство углов падения и отражения. Этот случай был рассмотрен ранее.

Экспериментально установлено, что при косом падении ударной волны конечной амплитуды на твердую поверхность обычно реализуется отражение с меньшим углом из двух возможных его значений. Кроме того, выяснено, что при увеличении угла падения два значения сближаются. При некотором угле эти значения сливаются.

Линейное (регулярное) отражение, характерной особенностью которого является существование одной общей точки для прямой и отраженной волн, лежащей на граничной поверхности, возможно лишь при .

При линейное отражение становится невозможным. Отраженная волна, распространяясь по возмущенной среде, догоняет прямую и, сливаясь с ней, образует третью волну, называемую волной Маха или головной ударной волной. Возникает трехволновая конфигурация, характерной особенностью является существование общей точки пересечения волн над отражающей поверхностью - так называемой «тройной» точки, рис.37. Такое отражение называется нелинейным (или нерегулярным).

Рис. 37. Волновая система при нерегулярном отражении
ударной волны от жесткой стенки

На рис 38. представлены значения для идеального газа в зависимости от отношения давления в невозмущенной среде и давления в прямой волне . Кривая делит область значений угла на две части: область, где возможно линейное отражение и область, где происходит нелинейное отражение.

Рис. 38. Области регулярного и нерегулярного отражения

- область регулярного отражения,

- область нерегулярного отражения

Из рис. 38 видно, что, начиная с и до , предельный угол составляет около 40⁰.

Вследствие сложности газодинамических процессов, имеющих место при косом падении ударной волны на преграду, большое значение при количественном определении параметров образующейся волновой системы имеют опытные данные.

В нашей стране наиболее законченные экспериментальные исследования рассматриваемой задачи выполнены М.А.Садовским, К.Е.Губкиным, А.И.Коротковым.

Установлено, что в области регулярного отражения для давлений во фронте кПа величина давления в отраженной волне практически не зависит от угла падения и может быть определена по формуле Измайлова (4.90)

,

где - давление в прямой волне.

В области нерегулярного отражения давление во фронте головной волны может быть определено с помощью графиков рис.39 [16].

Рис.39. Давление отражения на плоской преграде при косом падении фронта ударной волны.

При пользовании графиками рис.39 вначале по формуле (4.90) для заданного давления вычисляют давление и далее находят отношение P_ф. Определяют соответствующую кривую P_ф при =0, с которой снимают значение при заданном значении .

Продолжительность фазы сжатия и импульс давления в фазе сжатия отраженной и головной волн находятся согласно рекомендаций, приведенных в §5.1.

Исследование случая косого падения ударной волны конечной амплитуды на границу раздела двух сжимаемых сред выходит за рамки настоящего пособия. При необходимости с результатами решения этой задачи можно ознакомиться, например, по литературе [4].

Дата добавления: 2014-12-27