Интегрирование методом подстановки

Если интеграл затруднительно привести к табличному с помощью элементарных преобразований, то в этом случае пользуются методом подстановки.

Сущность этого метода заключается в том, что путем введения новой переменной удается свести данный интеграл к новому интегралу, который срав-

нительно легко берется непосредственно.

Для интегрирования методом подстановки можно использовать следующую схему:

1 часть подынтегральной функции надо заменить новой переменной;

2 найти дифференциал от обеих частей замены;

3 все подынтегральное выражение выразить через новую переменную (после чего должен получиться табличный интеграл);

4 найти полученный табличный интеграл;

5 сделать обратную замену.

Пример 7. Найти интеграл: .

Р е ш е н и е. Произведем подстановку , тогда , откуда . Далее получаем:

Пример 8. Найти интеграл: .

Р е ш е н и е. Сначала положим , тогда , откуда . Далее получаем:

.

Пример 9. Найти интеграл: .

Р е ш е н и е. Положим , тогда откуда . Далее получаем:

.

Пример 10. Найти интеграл: .

Р е ш е н и е. Положим , тогда , откуда .

Далее получаем:

.

В практике интегрирования часто встречаются интегралы, для нахождения которых можно использовать следующие формулы ( – по-

стоянные):

1 ;

2 ;

3 ;

4 ;

5 ;

6 ;

7 ;

8 .

Так, при нахождении можно использовать формулу: , где . Тогда .

Дата добавления: 2014-12-27