Непосредственное вычисление определенного интеграла

Основные свойства определенного интеграла

Все свойства сформулированы в предположении, что рассматриваемые функции интегрируемы на соответствующих промежутках.

1 Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

.

2 При перестановке пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный:

.

З Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

,где .

4 Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

, где .

5 Интеграл от алгебраической суммы функций равен такой же алгебраической сумме интегралов от всех слагаемых:

.

Для вычисления определенного интеграла, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл, служит формула Ньютона–Лейбница:

, т. е. определенный интеграл равен разности значений любой первообразной функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Из этой формулы виден порядок вычисления определенного интеграла:

1 найти неопределенный интеграл от данной функции;

2 в полученную первообразную подставить вместо аргумента сначала верхний, затем нижний предел интеграла;

З из результата подстановки верхнего предела вычесть результат подстановки нижнего предела.

Пример 1. Вычислить интеграл: .

Р е ш е н и е. Применив указанное правило, вычислим данный определенный интеграл:

.

Пример 2. Вычислить интеграл: .

Р е ш е н и е. Воспользуемся определением степени с дробным и отрицательным показателем и вычислим определенный интеграл:

.

Пример 3. Вычислить интеграл: .

Р е ш е н и е. Интеграл от разности функций заменим разностью интегралов от каждой функции:

Пример 4. Вычислить интеграл: .

Р е ш е н и е. Воспользуемся определением степени с дробным показателем, правилом деления суммы на число и вычислим определенный интеграл от каждого слагаемого отдельно:

Дата добавления: 2014-12-27