Понятие определенного интеграла

Вопросы и упражнения для самопроверки

1 Какое действие называется интегрированием?

2 Какая функция называется первообразной для функции ?

3 Дайте определение неопределенного интеграла.

4 Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.

5 Каким действием можно проверить интегрирование?

6 Напишите основные формулы интегрирования (табличные интегралы).

7 Найдите интегралы:

;

;

;

;

;

;

;

.

О т в е т ы:

7 ; ;

; ; ; ; ; .

Определённый интеграл

Пусть функция определена на отрезке . Допустим для простоты, что функция в указанном промежутке неотрицательна и . Разобьем этот отрезок на частей точками. На каждом из частичных отрезков возьмем произвольную точку и составим сумму: , где . Эта сумма носит название интегральной суммы функции на отрезке .

Геометрически (рисунок 13) каждое слагаемое интегральной суммы равно площади прямоугольника с основанием и высотой , а вся сумма равна площади «ступенчатой фигуры», получающейся объединением всех указанных выше прямоугольников.

Рисунок 13

Очевидно, что при всевозможных разбиениях отрезка на части получим различные интегральные суммы, а, следовательно, и различные «ступенчатые фигуры».

Будем увеличивать число точек разбиения так, чтобы длина наибольшего из отрезков стремилась к нулю. Во многих случаях при таком разбиении интегральная сумма будет стремиться к некоторому конечному пределу, не зависящему ни от способа, каким выбираются точки деления , ни от того, как выбираются промежуточные точки

Этот предел и называется определенным интегралом от функции на отрезке .

Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел, к которому стремится интегральная сумма при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала. Он обозначается символом читается «интеграл от до от функции по » или, короче, «интеграл от до от ». По определению,

.

Число, называется нижним пределом интегрирования, число – верхним; отрезок – отрезком интегрирования.

Заметим, что всякая непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке.

Если интегрируемая на отрезке функция неотрицательна, то определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции , ограниченной графиком функции , осью абсцисс и прямыми и (рис. 13), т. е. .

В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла.

Дата добавления: 2014-12-27