Однородные уравнения. Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Пусть в уравнении

правая часть может быть представлена в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной: . Тогда уравнение можно записать в виде

. (3)

Уравнение вида (3) называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Разделив это уравнение на и умножив на , придем к уравнению

. (4)

Интегрируя левую часть (4) по , а правую часть - по , приходим к общему интегралу дифференциального уравнения (3).

Однородным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, которое может быть приведено к виду

. (5)

С помощью подстановки , где - новая неизвестная функция, однородное уравнение (5) может быть преобразовано в уравнение с разделяющимися переменными вида:

. (6)

Решив уравнение (6), найдем неизвестную функцию , а, следовательно, и решение уравнения (5): .

Дата добавления: 2014-12-27