ВВЕДЕНИЕ. Цель курса математики – изучить математический аппарат и научить студентов его применять при решении практических экономических задач

Цель курса математики – изучить математический аппарат и научить студентов его применять при решении практических экономических задач, показать связь математики как естественнонаучной дисциплины и экономики – как общепрофессиональной дисциплины для формирования ключевых компетенций молодого специалиста. Студенты должны изучить основы аналитической геометрии и линейной алгебры, методы дифференциального и интегрального исчисления; освоить методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, изучить элементы линейного программирования и теории вероятностей.

Математика как учебная дисциплина в системе обучения специалистов опирается на школьный курс математики, используя все его разделы. Значительная часть материала выносится на самостоятельную работу, что служит развитию навыков самостоятельного изучения литературы по математике и ее приложениям. В процессе изучения дисциплины

Студенты должны знать:

• основы алгебры и аналитической геометрии;
• уравнения линий и поверхностей;
• основные понятия теории пределов;
• основное содержание дифференциального и интегрального исчисления;
• порядок исследования функций одной и нескольких переменных;
• существенные признаки сходимости рядов;
• случайные события, случайные величины и законы их распределения;
• основы линейного программирования.

уметь:

· использовать основные понятия и теоремы при решении задач;

· применять алгоритмы решения задач и исследования функций;

· собирать и систематизировать материал практической деятельности;

· владеть математическими приемами при решении экономических задач.

приобрести практические навыки:

• решения системы линейных уравнений методом Крамера, методом обратной матрицы и методом Гаусса;
• действий над векторами и матрицами;
• дифференцирования;
• исследования функций и построения графиков функций;
• интегрирования;
• решения дифференциальных уравнений;
• применения основных формул для вычисления вероятностей;
• установления корреляционных и регрессионных связей;
• применения математических моделей для решения экономических задач.

В методических указаниях приведены краткие теоретические сведения по каждому типу задач с подробными пояснениями к их решению. Методические указания используются студентами заочной формы обучения при выполнении контрольных работ, а также при подготовке к экзаменам. Методические указания содержат общие указания и разбор типовых вариантов двух домашних контрольных работ, которые должны быть выполнены студентами I курса в 1 и во 2 семестре. Формой контроля в первом семестре является зачет, во втором семестре - экзамен.

Курс математики состоит из следующих разделов:

1. Основы алгебры и анализа.
2. Интегральное исчисление. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ряды.
3. Теория вероятностей.
4. Численные методы и оптимизационные задачи.

СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИКА»

Раздел 1. Основы алгебры и анализа

Тема: Элементы линейной алгебры

Матрицы и действия с ними. Определители и их свойства. Обратные матрицы. Теорема Крамера. Системы линейных алгебраических уравнений. Ранг матрицы. Теорема Кроннекера - Каппели. Метод Жордана - Гаусса.

Тема: Элементы аналитической геометрии

Прямоугольная система координат в пространстве. Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Теоремы о проекциях векторов. Линейная зависимость векторов. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов и выражение их через координаты. Задача о делении отрезка в заданном отношении. Координатные уравнения прямой в пространстве. Координатные уравнения прямой на плоскости. Нормированное уравнение прямой. Угол между двумя прямыми на плоскости. Взаимное расположение прямых на плоскости. Общие уравнения прямой в пространстве. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Линии второго порядка. Поверхности второго порядка.

Тема: Введение в анализ функции одной переменной

Множества, числовые множества. Абсолютная величина числа. Понятие функции. Классификация функций. Предел последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Теоремы о сумме (разности), произведении и частном сходящихся последовательностей. Монотонные последовательности. Число е. Предел функции в точке. Теоремы о пределах функции. Первый и второй замечательные пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых функций. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва. Основные свойства непрерывных функций. Понятие сложной и обратной функций.

Тема: Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Понятие производной, её геометрический, механический и экономический смысл. Понятие дифференцируемости функции. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности. Понятие дифференциала. Правила дифференцирования. Производная постоянной функции. Производные тригонометрических функций. Производная логарифмической функции. Производная обратной функции. Производная сложной функции.

Вычисление производных показательных логарифмических и обратных тригонометрических функций. Производная степенной функции. Таблица простейших элементарных функций. Дифференцирование функции заданной параметрически. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши, и их геометрический смысл. Теорема Лопиталя. Признак монотонности. Необходимые и достаточные условия локального экстремума. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции. Необходимое и достаточное условия точки перегиба. Асимптоты графика функции. Схема исследования функции и построения графика.

Тема: Функции нескольких переменных

Понятие функции нескольких переменных. Непрерывность функции нескольких переменных. Частные производные. Определение дифференцируемости. Дифференциал функции нескольких переменных и его геометрический смысл. Производная по направлению. Градиент. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума. Метод наименьших квадратов. Вогнутые функции. Метод множителей Лагранжа. Экономический смысл множителей Лагранжа.

Раздел 2. Интегральное исчисление. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ряды

Тема: Неопределённый интеграл

Первообразная и неопределённый интеграл. Свойства неопределённого интеграла. Таблица основных интегралов. Непосредственное интегрирование. Метод подстановки. Метод интегрирования по частям. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование некоторых иррациональных функций. Универсальная тригонометрическая подготовка. Частные тригонометрические подстановки. Интегрирование иррациональностей с помощью тригонометрических подстановок.

Тема: Определённый интеграл

Понятие определённого интеграла. Необходимое и достаточное условие интегрируемости. Свойства определённого интеграла. Теорема о среднем. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула интегрирования по частям в определённом интеграле. Некоторые приложения определённого интеграла. Несобственные интегралы первого и второго родов. Формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона.

Тема: Двойной интеграл

Двойные интегралы. Определение и условие существования. Геометрический смысл двойного интеграла. Свойства двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному. Замена переменных в двойном интеграле. Некоторые приложения двойного интеграла.

Тема: Обыкновенные дифференциальные уравнения

Общие понятия и определения. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема Коши. Общее и частное решения обыкновенного дифференциального уравнения. Обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Геометрическое и физическое истолкования. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Теорема о структуре решения. Линейно независимые функции. Определитель Вронского. Линейные неоднородные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод неопределённых коэффициентов.

Тема: Числовые ряды

Понятие числового ряда. Свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости ряда. Необходимое и достаточное условия сходимости. Признак сравнения. Признак Даламбера. Интегральный признак. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость рядов.

Тема: Функциональные ряды

Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Разложения функций в степенные ряды. Теорема о единственности разложения. Необходимое и достаточное условие сходимости. Некоторые приложения степенных рядов.

Раздел 3. Теория вероятностей

Тема: Случайные события и вероятность

Предмет теории вероятностей. Испытание. Событие. Классификация событий. Классическое определение вероятности случайного события. Геометрическое определение. Статистический подход к определению вероятности и согласованность его с другими определениями. Алгебра событий. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности и формула Байеса. Схема независимых испытаний. Формула Бернулли и две теоремы Лапласа. Формула Пуассона. Байесовский подход к принятию решений.

Тема: Случайные величины

Случайная величина. Дискретные и непрерывные случайные величины. Ряд распределения дискретной случайной величины. Функция распределения, её свойства. Плотность вероятности, её свойства. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Биномиальное, геометрическое, равномерное, показательное, нормальное распределения. Математическое ожидание функции случайной величины. Коэффициент корреляции двух случайных величин и его свойства. Прямая регрессия. Закон больших чисел. Теоремы Бернулли, Ляпунова, Чебышева и их приложения.

Тема: Системы случайных величи.

Основные понятия и определения. Зависимые и независимые случайные величины. Условные законы распределения. Числовые характеристики системы случайных величин. Условные числовые характеристики системы случайных величин. Многомерное нормальное распределение.

Тема: Комплексные числа

Комплексные числа и действия над ними. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Формулы Муавра и Эйлера.

Раздел 4. Численные методы и оптимизационные задачи

Тема: Постановка оптимизационных задач

Математические модели экономических задач. Требования к моделям и характер их использования. Оптимизационные модели. Примеры оптимизационных задач.

Тема: Задача линейного программирования и ее решение симплекс-методом

Экономические примеры. Постановка задачи линейного программирования и три ее формы. Общая задача линейного программирования и сведение ее к основной задаче, основная задача линейного про­граммирования. Каноническая задача линейного программирования и алгоритм симплекс-метода. Метод искусственного базиса.

Тема: Теория двойственности

Двойственность и ее роль в теории и практике линейного программирования. Симметричные и несимметричные двойственные задачи. Теоремы двойственности и их следствия. Два критерия оптимальности пла­нов двойственных задач. Экономический смысл двойственных задач.

Тема: Экономические приложения линейного программирования.

Транспортная задача. Постановка и математическая модель закрытой транспортной задачи. Критерии оп­тимальности плана перевозок. Метод потенциалов решения закрытой модели. Открытая модель транс­портной задачи ее сведение к закрытой модели.

Тема: Сетевые методы. Графы

Понятие о графе. Задача о кратчайшем пути к графе. Решение за­дачи методом пометок Форда. Понятие о сетевых графиках. Определение критического пути и кратчайшего времени завершения работы. Применение алгоритма для анализа транспортной задачи с ограниченными пропускными способностями.

Тема: Элементы теории игр

Матричная игра двух лиц с нулевой суммой и конечным числом стратегий. Основные понятия. Платежная матрица. Стратегии чистые и смешанные. Средний выигрыш. Оптимальные стратегии и цена игры. Постановка задачи теории игр. Критерии оптимальности стратегий. Основная теорема теории игр (теорема фон Неймана). Сведение матричной игры к паре двойственных задач линейного программирования.

Тематическая карта дисциплины

Семестр	Темы	Количество
Лекции	Практиче­ские заня­тия	Всего ауди­тор­ных часов	Само­стоя­тельная рабо­та
Элементы линейной алгебры
Элементы аналитической геомет­рии	-
Введение в анализ. Функции од­ной переменной
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Функции нескольких переменных		-
Неопределенный интеграл
Определенный интеграл
Двойной интеграл	-	-	-
Обыкновенные дифференциаль­ные уравнения
	ИТОГО за 1 семестр
	Числовые ряды
	Функциональные ряды
	Случайные события и вероятность		-
	Случайные величины, системы случайных величин		-
Комплексные числа	-	-	-
	Постановка оптимизационных задач	-	-	-
	Задачи линейного программирова­ния и ее решение симплекс-мето­дом
Теория двойственности
Экономические приложения ли­нейного программирования
	Сетевые методы. Графы		-
	Дерево решений		-
	Элементы теории игр
	ИТОГО за 2 семестр
	ИТОГО

Выполнение контрольных работ нацелено на получение студентами необходимых практических навыков решения задач из курса математики. Прежде чем приступить к их выполнению, необходимо внимательно изучить соответствующие разделы методических указаний, попробовав самостоятельно решить разобранные задания. В случае возникновения затруднений, а также при необходимости более глубокого изучения вопроса, следует обратиться к рекомендованной учебно-методической литературе. Цель настоящих указаний - помочь студентам в организации самостоятельных занятий по выполнению контрольных работ по курсу математики.

Контрольная работа № 1 включает задания по следующим темам:

Первое и второе задания по линейной алгебре включают алгебру матриц и решение систем линейных уравнений.

Третье задание содержит задачи по аналитической геометрии на плоскости.

Четвертое задание по теории пределов включает правила раскрытия неопределенностей и свойства пределов.

Пятое задание содержит основы дифференциального исчисления.

Шестое задание проверяет практические навыки применения аппарата производной к исследованию функции и построения графика.

Седьмое задание включает основные методы интегрирования.

Восьмое задание включает исследование функции двух переменных.

Девятое задание проверяет навыки студентов по решению однородных дифференциальных уравнений первого порядка.

Контрольная работа № 2 включает задания по следующим темам:

Первое и второе задания по теории числовых рядов включают признаки сходимости знакопеременного ряда и ряда с положительными членами.

Третье и четвертое задания по теории вероятностей включает основные свойства случайных событий и случайных величин.

Пятое и шестое задания проверяют навыки работы студентов с комплексными числами.

Седьмое и восьмое задания содержат графическую интерпретацию и симплексный метод задачи линейного программирования.

Дата добавления: 2014-12-27