Тема 8. Числовые и степенные ряды

Определение Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел u₁, u₂, …, соединенных знаком сложения:

(1)

Определение Если существует предел S = , то ряд (1) называется сходящимся, а число S – суммой этого ряда; если предела не существует, то ряд (1) называется расходящимся.

Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами

1. Признак сравнения: Пусть даны два ряда с неотрицательными членами:

= a₁ + a₂ + … + a_n + …, где a_n ≥0, (1)

= b₁ + b₂ + … + b_n + …, где b_n ≥0, (2)

Если b_n ≤ a_n для любого n, то из сходимости ряда (1) следует сходимость ряда (2) и сумма ряда (2) не превосходит сумму ряда (1); из расходимости ряда (2) следует расходимость ряда (1).

2. Признак Даламбера:

Пусть дан ряд = a₁ + a₂ + … + a_n + …, где a_n ≥0, (1)с положительными членами. Допустим, что существует и = b. Тогда:

а) если в<1, то ряд (1) сходится;

б) если в>1, то ряд (1) расходится.

3. Признак Коши:

Пусть дан ряд = a₁ + a₂ + … + a_n + …, где a_n ≥0, (1) с неотрицательными членами. Допустим, что существует и = b.Тогда:

а) если b < 1, то ряд (1) сходится;

б) если b > 1, то ряд (1) расходится.

4. Интегральный признак сходимости:

Пусть дан ряд = a₁ + a₂ + + a_n + …, с положительными членами, причем a₁ > a₂ > a₁ > a₃ > …> a_n > …и f(n) – такая непрерывная монотонно убывающая функция, что f(n) = a_n. Тогда данный ряд и несобственный интеграл одновременно сходятся или расходятся.

Определение Ряд называется знакочередующимся, если положительные и отрицательные члены следует друг за другом поочередно.

Теорема Лейбница:

Знакочередующийся ряд a₁ – a₂ + a₃ – a₄ +…+ + … сходится, если:

а) его члены убывают по модулю, a₁ ≥ a₂ ≥ a₁ ≥ a₃ ≥ …≥ a_n..;

б) его общий член стремится к нулю, = 0. При этом сумма S ряда удовлетворяет неравенствам 0≤ S≤ a_1.

Определение Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходятся как сам ряд, так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов. Ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Дата добавления: 2014-12-27