Тема 7. Функция двух переменных

Тема 6. Неопределенный интеграл

Определение Функция называется первообразной по отношению к функции , если дифференцируема и выполняется условие . Очевидно, что , где С – любая константа.

Определение Неопределенным интегралом от функции называется множество всех первообразных этой функции. Неопределенный интеграл обозначается и равен .

Основные правила интегрирования

1. , , где С – произвольная постоянная

2. , где А – постоянная величина

3.

4. Если и - дифференцируемая функция, то

В частности,

Таблица простейших интегралов

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

Рассмотрим функцию двух переменных , определенную в некоторой области , являющейся частью плоскости

Определение Частной производной от функции по независимой переменной х называется производная

вычисленная при постоянном у. Частной производной по у называется производная

вычисленная при постоянном х.

Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования. При изменении и частные производные сами являются функциями, и можно вычислять частные производные от этих функций. Частные производные второго порядка обозначают следующим образом:

Последнюю из трех частных производных второго порядка называют смешанной производной. Если частные производные второго порядка непрерывны в точке , тогда , то есть не важно, в какой последовательности вычисляется смешанная производная.

Определение Градиентом функции в точке называется вектор, составленный из частных производных:

Этот вектор указывает в точке М₀ направление наискорейшего роста функции .

Для функции двух переменных вводится понятие производной по направлению, аналогичное понятию частной производной, когда приращение аргумента задается вдоль данного направления. Для любого направления, задаваемого вектором , производная функции в точке по направлению этого вектора может быть выражена следующим образом:

где знак модуля означает длину вектора градиента в точке , а ─ угол между градиентом и направлением .

Дата добавления: 2014-12-27