I уровень

Примеры выполнения общих заданий

Задание 1

Логико-математический анализ темы

«Декартовы координаты и векторы в пространстве»

(по учебнику «Геометрия 10–11», авт. Погорелов А.В., 2006 г.).

Основные понятия:

– координатные оси – Ох, Оу, Оz; начало координат – точка О;

– координатные плоскост и – хОу, хОz, уОz;

– координаты точки – числа, равные по абсолютной величине длине отрезка от точки до соответствующей координатной плоскости, обозначение А (х, у, z);

– вектор – направленный отрезок;

– абсолютная величина вектора – длина отрезка;

– направление вектора; одинаково направленные векторы, противоположно направленные;

– равные векторы – одинаково направлены и равны по абсолютной величине, или имеют равные координаты;

– сумма векторов;

– произведение векторы на число;

– скалярное произведение векторов.

Способы определения вводимых понятий явные, с указанием характеристического свойства и конструктивные, используется аналогия.

Например, определение равных векторов:

Термин – равные векторы.

Род – векторы.

Видовые отличия: 1) векторы одинаково направлены; и 2) абсолютные величины (длины) векторов равны,

Все свойства соединены союзом «и», определение конъюнктивное.

Основные предложения темы:

– формулы расстояния между точками в пространстве:

А₁ (х_1, у_1, z₁), А₂ (х_2, у_2, z₂), А₁ А₂ ² = (х₂ – х₁)² ₊ (у₁ – у₂)² + (z₁ – z₂)² ;

– формулы координат середины отрезка:

точки А₁ (х_1, у_1, z₁), А₂ (х_2, у_2, z₂), отрезок А₁А₂, С (х, у, z) – середина отрезка;

– уравнение фигуры в пространстве; уравнение плоскости.

– свойства действий над векторами;

– формула нахождения косинуса угла между векторами.

II уровень. Виды теорем – теоремы – формулы; методы доказательства – используется прямое доказательство, алгебраический метод (тождественных преобразований), используются дополнительные построения. Ранее изученный материал представлен в табл. 4. (блок А).

III уровень. Результаты логико-математического анализа темы представлены в табл.12.

Таблица 12

Логико-математический анализ темы

«Декартовы координаты в пространстве»

А Ранее изученный материал, необходимый для изучения темы	В Теоретический материал темы	С Применение изученного материала
- система координат на плоскости; - формулы расстояний между точками, координат середины отрезка; - уравнение фигуры; уравнение прямой; - метод координат на плоскости. - векторы на плоскости; - векторная алгебра; - векторный метод на плоскости. - понятие угла между прямыми и плоскостями, векторами.	Уравнение плоскости, сферы Уравнение фигуры Координаты середины отрезка Формула расстояния между точками Координаты точки Система координат Декартовы координаты в пространстве Метод координат Векторы в пространстве Действия над векторами в координатах Векторный метод	- решение задач в курсе геометрии, алгебры и начал анализа; - применение в курсе физики; - при изучении темы «Тела вращения»; - при изучении темы «Многогранники».

Основные идеи и методы изучения: дедуктивное изучение темы, метод аналогии.

Например, теорема о том, что скалярное произведение двух векторов в пространстве равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними, доказывается, как и на плоскости с помощью векторных преобразований (аналогично).

Задание 2

Основные типы математических задач в теме «Объемы многогранников»

I уровень

– задачи на вычисление объемов многогранников;

– задачи на вычисление элементов многогранников, по его объему;

– задачи на вычисление объемов подобных тел;

– комбинированные задачи (на построение многогранника и вычисление его объема);

– текстовые задачи на вычисление объемов и других размеров (длин) многогранника.

Примеры задач по теме для общеобразовательных классов

1. Основание наклонного параллелепипеда – квадрат, сторона которого 1 м. Одно из боковых ребер равно 2 м и образует с каждой из прилежащих сторон основания угол 60 градусов. Найдите объем параллелепипеда.

2. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро 4 см, а сторона основания 6 см. Найдите объем пирамиды [20].

3. Сечение железнодорожной насыпи имеет вид трапеции с нижним основанием 14 м, верхним 8 м и высотой 3,2 м. Найдите сколько кубических метров земли приходится на 1 км насыпи.

4. Через середину высоты пирамиду проведена плоскость, параллельная основанию. В каком отношении она делит объем пирамиды?

Частный прием решения задачи на вычисление объема пирамиды (задача 3):

1) изучите содержание задачи: какая пирамида дана, какие элементы пирамиды известны. Сделайте чертеж по условию задачи, обозначьте пирамиду и ее высоту. Запишите, что дано и что надо найти;

2) запишите формулу для нахождения объема пирамиды в общем виде, а затем эту формулу с использованием введенных обозначений для данной пирамиды;

3) найдите площадь основания пирамиды, используя данные;

4) найдите высоту пирамиды, используя прямоугольный треугольник;

5) вычислите объем пирамиды;

6) запишите ответ.

II уровень

Примеры задач по теме для гуманитарных классов

1. Выпуклый многогранник имеет своими гранями только четырехугольники. Сколько он имеет вершин и граней, если: а) Р = 12; б) Р = 15. Изобразить эти многогранники.

2. Постройте кабинетную проекцию данной вам правильной четырехугольной призмы. Соедините точку пересечения диагоналей верхнего основания с вершинами нижнего основания. У вас получится правильная четырехугольная пирамида, вписанная в правильную четырехугольную призму. Сравните их объемы. Вычислите угол наклона ребра пирамиды к плоскости основания, произведя минимум измерений. Выразите линейные элементы пирамиды через линейные размеры призмы. Найдите объемы пирамиды и призмы.

3. Выполните чертеж развертки поверхности правильной треугольной (четырехугольной, шестиугольной) призмы. Вычислите объем призмы, произведя необходимые измерения.

Дата добавления: 2014-12-27