Метод квадратного корня

Метод LU-разложения

Матрица A СЛАУ

, (5.21)

если все главные миноры матрицы A отличны от нуля, может быть преставлена в виде произведения

A = LU, (5.22)

где L - нижняя треугольная, а U - верхняя треугольная матрицы:

; . (5.23)

Тогда СЛАУ (22) эквивалентна двум СЛАУ с треугольными матрицами

(5.24)

(5.25)

Решение их элементарно.

Проблема в том, чтобы получить разложение (22). Это соотношение в покомпонентной форме имеет вид

(5.26)

и является системой n² уравнений относительно n² искомых коэффициентов матриц L и U. Однако, если записать эти уравнения в определенном порядке, то каждое из них будет содержать только одно неизвестное и легко решается:

(5.27)

По трудоемкости метод LU - разложения равноценен методу Гаусса.

Вычисление определителя соответствует разложению (22):

(5.28)

Если СЛАУ имеет симметричную матрицу, то для последней возможно представление

A = S^TDS, (5.29)

где S - верхняя треугольная матрица, D - диагональная матрица с элементами +1 или -1. СЛАУ (3) тогда принимает вид

, (5.30)

который эквивалентен трем СЛАУ

; (5.31)

; (5.32)

. (5.33)

Для нахождения коэффициентов матриц S и D разложение (29) записывается в покомпонентном виде

. (5.34)

Записывая уравнения (34) в определенном порядке, можно определить коэффициенты матриц S и D:

(5.35)

Метод квадратного корня требует приблизительно 1/3n³ арифметических действий.

Вычисление определителя соответствует разложению (29):

(5.36)

Здесь p - количество отрицательных элементов матрицы D.

Если матрица A - не только симметрична, но и положительно определенна, то в разложении (29) D - единичная матрица и тогда СЛАУ (3) принимает более простой вид

, (5.37)

который эквивалентен двум СЛАУ

; (5.38)

. (5.39)

Последовательность определения коэффициентов матрицы S аналогична (35).

Вычисление определителя:

(5.39)

Дата добавления: 2014-12-27