Метод простых итераций

Заменим уравнение (1) на эквивалентное ему уравнение

,(7.2)

Выберем начальное приближение и вычислим дальнейшие приближения по формулам

,n = 0,1,2, …(7.3)

Если стремится к некоторому пределу , то этот предел есть корень исходного уравнения (1).

Условия сходимости. Если имеет непрерывную производную, тогда

(7.4)

где точка лежит между точками и . Поэтому

1) если всюду , то отрезки убывают не медленнее членов геометрической прогрессии со знаменателем q < 1 и последовательность (4) сходится при любом начальном приближении;

2) если , то итерации расходятся;

3) если , но вдали от корня , то метод сходится, если начальное приближение достаточно близко к корню.

Очевидно, что вблизи корня сходимость будет наиболее быстрой, если .

Оценка погрешности. Вблизи корня итерации сходятся приблизительно как геометрическая прогрессия со знаменателем . Чтобы сумма дальнейших ее членов не превосходила , должно выполнять условие

. (7.5)

Дата добавления: 2014-12-27