Метод секущих

Метод Ньютона (касательных)

Пусть в уравнении (1) функция имеет непрерывную производную. Тогда это уравнение можно преобразовать к виду

. (7.6)

Приближенно заменяя на , получим итерационный процесс

, (7.7)

Метод Ньютона можно рассматривать как частный случай метода простых итераций, если считать

. (7.8)

Тогда

(7.9)

и для простого корня

, (7.10)

что обеспечивает быстрейшую сходимость метода.

Для p-кратного корня приближенное представление функции в окрестности корня в виде первого члена ряда Тейлора имеет вид

. (7.11)

Тогда, с учетом (9)

, (7.12)

и, значит, при достаточно близком к корню начальном приближении метод Ньютона сходится.

Оценим скорость сходимости к простому корню. По определению (3)

(7.13)

Раскладывая правую часть в ряд Тейлора и учитывая (10), получим

. (7.14)

Т.о., сходимость - квадратичная.

В методе Ньютона требуется вычислять производную функции, что не всегда удобно. Можно приближенно заменить производную в (7) конечноразностным выражением

. (7.15)

Тогда вместо (7) имеем итерационный процесс

. (7.16)

Для его начала требуется задать и (двухшаговый процесс).

Дата добавления: 2014-12-27