Решение

.

.

.

.

.

Решение.

1а) Вычисляем : .

2а) Вычисляем .

Сначала находим . Тогда

3а) Вычисляем .

Сначала находим (учитываем, что ) . Тогда

4а) Вычисляем :

(учитываем, что ) .

1б) Для нахождения корней алгебраического уравнения , раскладываем его левую часть на множители:

.

2б) Находим корни уравнения на множестве комплексных чисел, приравнивая каждый из множителей нулю (число корней, с учётом кратности, должно равняться порядку уравнения):

1) .

2) .

3) . Так как дискриминант квадратного уравнения , то уравнение имеет два комплексно-сопряжённых корня: .

Корни , можно найти и как корни уравнения , по формуле . Для нахождения комплексных значений корня, число следует представить в виде комплексного числа в тригонометрической форме: , после чего значения корня найти по формуле: ,где

Ответ:

a) , , , ;

б) , , .

121-130. Вычислить пределы (не пользуясь правилом Лопиталя):

а) б) в)

г) д)

Вычисление предела , где , начинают всегда с подстановки в предельного значения её аргумента . В результате могут получиться неопределённости , , , которые раскрывают тождественными преобразованиями такими, чтобы преобразованное выражение получилось определённым. При вычислении пределов используют свойства конечных пределов и бесконечно больших функций, а также следующие известные пределы: , , (), , , , , .

Решение. а) При подстановке вместо переменной её предельного значения получим неопределённость . Для её раскрытия сначала разделим числитель и знаменатель дроби на (старшую степень переменной в числителе и знаменателе), после чего используем свойства конечных пределов и бесконечно больших функций. Получим

б) При подстановке вместо переменной её предельного значения получим неопределённость . Для её раскрытия выделим в числителе и знаменателе дроби общий множитель вида , где - некоторое число, т.е. множитель . Затем сократим на него числитель и знаменатель дроби, после чего используем свойства пределов.

1) В квадратном трёхчлене множитель выделяют разложением квадратного трёхчлена по формуле , где . 2) В выражении множитель выделяют следующим способом:

.

В результате получим

.

в) При подстановке вместо переменной её предельного значения получим неопределённость . Выделим в числителе множители вида , где при и используем свойства пределов. Получим

Для раскрытия неопределённостей , содержащих тригонометрические и обратные тригонометрические функции, в числителе и знаменателе дроби выделяют сначала множители вида: , , , , где при , используя формулы тригонометрии: , , .

После чего применяют свойства пределов, учитывая, что:

, , , .

г) При подстановке вместо переменной её предельного значения получим неопределённость .

Для раскрытия неопределённости , возникающей при вычислении предела , где , , сначала выражение представляют в виде , где при . После чего используют свойства пределов, заменяя выражение его предельным значением и учитывая, что = .

Представим в виде , где при , следующим способом:

= . Тогда учитывая, что , , получим = = .

д)

Для вычисления предела , где представляет собой дробь, числитель и знаменатель которой содержат факториалы натурального числа , поступают следующим образом. Выделяют в числителе и знаменателе в качестве общего множителя факториал меньшего натурального числа и сокращают на него. В результате получают выражение, предел которого находят рассмотренными выше способами.

Для вычисления данного предела сначала выразим , , через : , , , после чего сократим числитель и знаменатель на :

В результате получили неопределённость . Для её раскрытия разделим числитель и знаменатель дроби на (старшую степень переменной числителя и знаменателя), после чего используем свойства пределов. Получим

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

131-140. Для указанной функции требуется: а) выяснить при каких значениях параметра функциябудетнепрерывной; б) найтиточки разрыва функции и исследовать их характер. Построить график функции.

а) ; б) .

Точками разрыва функции являются точки разрыва функций в промежутках , ,…, , кроме того, точками возможного разрыва функции являются точки в окрестности которых и в самих точках функция задаётся разными аналитическими выражениями.

Точка является точкой непрерывности функции тогда и только тогда, когда: .

а) Поскольку функции и непрерывны в промежутках и как элементарные функции, определённые в каждой точке данных промежутков, то непрерывностьфункции может нарушиться только в точке её возможного разрыва .

Определяем значение параметра из условия непрерывности функции в точке : . Вычисляя , , : , , , из условия непрерывности , находим .

График непрерывной функции имеет вид изображённый на рис. 4.

б) Функции и непрерывны в промежутках и как элементарные функции, определённые в каждой точке данных промежутков, а функция в промежутке имеет точкой разрыва точку , в которой она не определена. Тогда для функции точка является точкой разрыва, а точки и , в окрестности которых и в самих точках функция задаётся разными аналитическими выражениями, являются точками возможного разрыва.

Исследуем на разрыв точки и установим характер разрыва:

1)

.

Следовательно, точка - точка разрыва 1-го рода функции .

2)

. Следовательно, точка - точка бесконечного разрыва (2-го рода) функции .

3)

.

Следовательно, точка - точка непрерывности функции .

График функции имеет вид, изображённый на рис.5.

Ответ: а) Функция непрерывна при (рис.4); б) - точка разрыва 1-го рода, -точка бесконечного разрыва функции (рис.5).

Рис.4 Рис.5

141-150. Найти производную :

а) ; б) ; в) .

Нахождение производной функции заданной явно, с помощью правил дифференцирования:

(), , , , , , , сводят к нахождению табличных производных (приложение 6.3).

Производную функции заданной параметрическими уравнениями находят в параметрическом виде по формуле .

Дата добавления: 2014-12-27