КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Решение
. . Решение. а) , где = ;
Тогда . б) , где
. Тогда в) Производную функции , заданной параметрическими уравнениями находим по формуле , где
; . Тогда . 151-160. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя. а) ; б) ; в) . Вычисление предела , где , всегда начинают с подстановки в предельного значения её аргумента . Если в результате получают неопределённость или , то для её раскрытия применяют правило Лопиталя: , где и - функции, дифференцируемые в окрестности . В некоторых случаях может потребоваться неоднократное применение данного правила. На каждом этапе его применения следует использовать, упрощающие отношение, тождественные преобразования, а также комбинировать это правило с любыми другими известными приёмами вычисления пределов. Раскрытие неопределённостей вида: , , , , путём преобразований: , , сводят к раскрытию неопределенностей вида или . Решение. а) , где ,
Тогда . б) , где
,
. Тогда . Применяем правило Лопиталя ещё раз: , где ,
= . Тогда . в) . Преобразуем данную неопределённость (приведением разности дробей к общему знаменателю) к виду , после чего применим правило Лопиталя. Получим = , где , . Тогда . Применяем правило Лопиталя ещё раз: , где ,
. В итоге получим . Ответ: а) ; б) ; в) . 161-170. Провести полное исследование функции и построить её график. Для построения графика функции нужно: 1) найти область определения функции; 2) найти область непрерывности функции и точки разрыва; 3) исследовать функцию на чётность, нечётность и периодичность; 4) найти точки пересечения графика с осями координат; 5) найти асимптоты графика функции; 6) найти интервалы возрастания и убывания, экстремумы функции; 7) найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба. 1) Находим область определения функции: = ). 2) Поскольку данная функция является элементарной, то областью её непрерывности является область определения , а точками разрыва являются точки и , не принадлежащие множеству , но являющиеся предельными точками этого множества (точками в любой окрестности которых содержатся точки данного множества). Исследуем характер разрыва в точках и , вычислив в них односторонние пределы функции: , , , . Так как односторонние пределы функции в точках и - бесконечные, то данные точки являются точками бесконечного разрыва. 3) Функция не является периодической. Функция , в аналитическое выражение которой входит хотя бы одна непериодическая функция периодической не является. Проверяем является ли функция чётной или нечётной. Так как область определения функции = ) не симметрична относительно точки , то данная функция – общего вида. 4) Находим точки пересечения графика с осями координат. Так как , то точек пересечения графика с осью нет. Положим и решим уравнение . Его решением является . Следовательно, точка - точка пересечения графика с осью . 5) Находим вертикальные и наклонные асимптоты графика функции. Прямая является вертикальной асимптотой, тогда и только тогда, когда является точкой бесконечного разрыва функции . Так как точки и - точки бесконечного разрыва данной функции, то вертикальными асимптотами графика функции являются прямые и . Прямая является наклонной асимптотой графика функции при тогда и только тогда, когда одновременно существуют конечные пределы: и . Вычисляем сначала пределы при : , . В дальнейшем будем иметь в виду следующий часто встречающийся предел: Следовательно , т.е. - наклонная (горизонтальная) асимптота графика функции при . Аналогично вычисляем пределы при : , Следовательно , т.е. - наклонная (горизонтальная) асимптота графика функции при . 6) Определяем интервалы возрастания, убывания, экстремумы функции. Для этого находим первую производную функции:
и определяем критические точки функции , т.е. точки в которых или не существует: ; не существует при и . Таким образом, единственной критической (стационарной) точкой функции является точка . Исследуем знак производной в интервалах, на которые критические точки функции разбивают её область определения , и найдём интервалы возрастания, убывания, экстремумы функции. Результаты исследования представим следующей таблицей:
Так как при переходе слева направо через точку производная меняет знак с «+» на «», то точка является точкой локального максимума и . 7) Определяем интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика функции. Для этого находим вторую производную функции: и определяем точки возможного перегиба , т.е. точки в которых или не существует: , так как (квадратное уравнение не имеет действительных корней); не существует при и . Таким образом, функция не имеет точек возможного перегиба. Исследуем знак второй производной в интервалах, на которые точки возможного перегиба функции разбивают её область определения , и найдём интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика функции. Результаты исследования представим таблицей:
Точек перегиба нет. 8) На основании полученных результатов строим график функции (рис.6)
Рис.6. 171-180. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке : , . Наибольшее и наименьшее значения функции непрерывной и кусочно-дифференцируемой (дифференцируемой, за исключением, быть может, конечного числа точек) на отрезке достигается или в точках , в которых или не существует, или на концах отрезка.
Дата добавления: 2014-12-27; Просмотров: 403; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |