Квадратурная формула прямоугольников

Рассмотрим определенный интеграл

Изобразим график подынтегральной функции (рис. 16).

Разобьем отрезок интегрирования на n, где , равных отрезков точками (рис. 16).

х

у

О

а

b

x ₀

x ₁

x ₂

x_i-1

x_i

x_n-1

x_n

x_n-2

ξ ₁

ξ ₂

ξ_i

ξ_n-1

ξ_n

f (ξ ₁)

f (ξ ₂)

f (ξ_i)

f (ξ_{n -1})

f (ξ_n)

Рисунок 16

Длина каждого отрезка разбиения . При этом очевидно, что для точек разбиения будет справедливо соотношение:

,

причем x ₀ = a и x_n = b. Обозначим за , , среднюю точку i -го отрезка разбиения, т.е. , (рис. 15). Для средних точек отрезков разбиения имеет место следующая формула:

Составим сумму

Учитывая, что для справедливо , равенство (7) можно переписать в виде

Следовательно, (8)

или

где – остаточный член (специальное обозначение). В квадратурной формуле (8) или (8ʹ), которая называется квадратурной формулой прямоугольников, узлами являются середины отрезков разбиения – точки , весовые множители все одинаковы и равны .

Формулу (8) или (8ʹ) называют формулой прямоугольников исходя из геометрического ее геометрического смысла. Величина (7ʹ) представляет собой сумму площадей прямоугольников с одинаковыми основаниями h и высотами (рис. 16). Она приближает значение площади криволинейной трапеции (рис. 16), соответствующей исходному определенному интегралу (6), с точностью .

Так как сумма – интегральная сумма функции на , следовательно, если функция интегрируема на , то в силу определения определенного интеграла

т.е. условия сходимости квадратурной формулы прямоугольников (8) или (8ʹ) в этом случае выполняются.

Предельные соотношения (9) доказывают принципиальную возможность вычисления определенного интеграла от произвольной интегрируемой функции методом прямоугольников с любой точностью ε за счет выбора числа n точек разбиения отрезка и соответствующего шага h.

Рассмотрим основной вопрос, связанный с организацией реального вычислительного процесса: каким нужно взять n, чтобы добиться при вычислении определенного интеграла (6) требуемой точности ε. Для этого необходимо провести оценку остаточного члена (погрешности) . В связи с этим подынтегральная функция должна быть не только интегрируема, но и дважды непрерывно дифференцируема на отрезке . Если выполняются все описанные выше условия, то для остаточного члена имеет место следующая оценка

где М – положительное число ограничивающее вторую производную подынтегральной функции на отрезке , т.е.

. (11)

При заданной точности ε условие (10) позволяет определить число узлов n, которое нужно использовать при вычислении определенного интеграла (6). Для этого достаточно использовать соотношение

Пример 1. Вычислить по квадратурной формуле прямоугольников при n = 3 интеграл

Сравнить с точным значением интеграла.

Решение.

Так как n = 3, то шаг

Найдем значения , используя соотношение и учитывая, что :

Теперь вычислим значения подынтегральной функции в точках , :

Значит по формуле (7ʹ) имеем

Следовательно, .

Сравним полученное приближенное значение с точным значением интеграла

.

Ответ: , .

Пример 2. Определить число узлов n, которое нужно использовать для вычисления интеграла с помощью формулы прямоугольников

с точностью до 0,01.

Решение.

Для определения n, воспользуемся соотношением (12)

По условию задачи и ε = 0,01. Учитывая, что подынтегральная функция и ее первая и вторая производные соответственно равны и , то на отрезке интегрирования справедливо = . Значит М = 1. В результате получим:

Из которого определим n:

Так как

а , то возьмем n = 5.

Следовательно, чтобы достичь точности ε = 0,01, необходимо взять 6 узлов.

Ответ: n = 5.

Пример 3. Вычислить по квадратурной формуле прямоугольников интеграл

с точностью до 0,01.

Решение.

Определим сначала число узлов n, которое необходимо использовать для вычисления интеграла. По условию задачи , ε = 0,01 и . Так как

и для выполняется

то М = 2. Подставляя значения a, b, ε и М в соотношение (12) получим:

Откуда найдем n.

Так как

а , то возьмем n = 3.

Так как n = 3, то шаг

Найдем значения , используя соотношение и учитывая, что :

Теперь вычислим значения подынтегральной функции в точках , :

Значит по формуле (7ʹ) имеем

Следовательно, .

Ответ: с точностью до 0,01.

Дата добавления: 2014-12-27