Квадратурная формула трапеций

Упражнения.

5.1 Вычислить по квадратурной формуле прямоугольников при n = 3 интеграл и сравнить с точным значением интеграла:

а) , I = 1; б) , I = ln 2;

в) , I = ; г) , I = 0,75.

5.2 Вычислить по квадратурной формуле прямоугольников при n = 5 интеграл и оценить погрешность интегрирования:

а) ; б) ;

в) ; г) .

5.3 Определить число узлов n, которое нужно использовать для вычисления интеграла с помощью формулы прямоугольников с точностью до 0,01:

а) ; б) ; в) ; г) .

5.4 Вычислить по квадратурной формуле прямоугольников интеграл с точностью до 0,01:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Рассмотрим определенный интеграл I (6) и изобразим график подынтегральной функции (рис. 17). Разобьем отрезок интегрирования на n равных отрезков точками , где (рис. 17).

Рисунок 17

f (х ₁)

f (х ₂)

f (х_i)

f (х_{n -1})

f (х_n)

f (х ₀)

f (х_{i -1})

f (х_{n- 2})

x ₀

x ₁

x ₂

x_i-1

x_i

x_n-1

x_n

x_n-2

а

b

х

у

О

Длина каждого отрезка разбиения . При этом очевидно, что для точек разбиения будет справедливо соотношение:

,

причем x ₀ = a и x_n = b.

Соединим отрезками точки графика функции с координатами . В результате получим ломанную, которая является графиком кусочно-линейной функции (рис. 17). На каждом из отрезков разбиения функция задается формулой

В точках она принимает те же значения, что и функция :

,

т.е. функция осуществляет кусочно-линейную интерполяцию функции на отрезке (рис 17).

Вычислим интеграл:

Этот результат имеет простой геометрический смысл: фигура, ограниченная снизу отрезком оси Ох, сверху отрезком функции (13), с боков вертикальными прямыми и , представляет собой трапецию с основаниями длины и и высотой h, площадь которой определяется формулой (14) (рис. 17).

Интеграл от функции по всему отрезку является суммой интегралов (14):

Квадратурная формула

дает приближенное значение интеграла I:

где – остаточный член (специальное обозначение). В квадратурной формуле (16), которая называется квадратурной формулой трапеций, узлами являются точки , весовые множители все, кроме двух при и , одинаковы и равны , а весовые коэффициенты при и равны . С точностью до формула (16) выражает площадь криволинейной трапеции, соответствующую интегралу I, через сумму площадей трапеций (14) (рис. 17).

Формула (7) или (7ʹ) для величины строилась как интегральная сумма. При выводе формулы (15) для понятие интегральной суммы не использовалось, но ее так же можно рассматривать как интегральную сумму. Следовательно, если функция интегрируема на , то в силу определения определенного интеграла

т.е. условия сходимости квадратурной формулы трапеций (16) в этом случае выполняются.

Предельные соотношения (17) доказывают принципиальную возможность вычисления определенного интеграла от произвольной интегрируемой функции методом трапеции с любой точностью ε за счет выбора числа n точек разбиения отрезка и соответствующего шага h.

Рассмотрим основной вопрос, связанный с организацией реального вычислительного процесса: каким нужно взять n, чтобы добиться при вычислении определенного интеграла (6) требуемой точности ε. Для этого необходимо провести оценку остаточного члена (погрешности) . В связи с этим подынтегральная функция должна быть не только интегрируема, но и дважды непрерывно дифференцируема на отрезке . Если выполняются все описанные выше условия, то для остаточного члена имеет место следующая оценка

где М – положительное число удовлетворяющее условию (11).

При заданной точности ε условие (18) позволяет определить число узлов n, которое нужно использовать при вычислении определенного интеграла (6). Для этого достаточно использовать соотношение

Пример 1. Вычислить по квадратурной формуле трапеций при n = 3 интеграл

Сравнить с точным значением интеграла.

Решение.

Так как n = 3, то шаг

Найдем значения , используя соотношение

и учитывая, что и :

Теперь вычислим значения подынтегральной функции в точках , :

Значит по формуле (15) имеем

Следовательно, .

Сравним полученное приближенное значение с точным значением интеграла

.

Ответ: , .

Пример 2. Определить число узлов n, которое нужно использовать для вычисления интеграла с помощью формулу трапеций

с точностью до 0,01.

Решение.

Для определения n, воспользуемся соотношение (19)

По условию задачи и ε = 0,01. Учитывая, что подынтегральная функция и ее первая и вторая производные соответственно равны и , то на отрезке интегрирования справедливо = . Значит М = 1. В результате получим соотношение

Из которого определим n:

Так как

а , то возьмем n = 6.

Следовательно, чтобы достичь точности ε = 0,01, необходимо взять 7 узлов.

Ответ: n = 6.

Пример 3. Вычислить по квадратурной формуле трапеций интеграл

с точностью до 0,01.

Решение.

Определим сначала число узлов n, которое необходимо использовать для вычисления интеграла. По условию задачи , ε = 0,01 и . Так как

и для выполняется

то М = 2. Подставляя значения a, b, ε и М в формулу (12) получим соотношение:

Из которого найдем n.

Так как

а , то возьмем n = 5.

Так как n = 5, то шаг

Найдем значения , используя соотношение

и учитывая, что , а b :

Теперь вычислим значения подынтегральной функции в точках , :

Значит по формуле (15) имеем

Следовательно, .

Ответ: с точностью до 0,01.

Дата добавления: 2014-12-27