Критерий Кронеккера-Капелли совместности систем линейных уравнений

Ответ на вопрос о существовании решений системы линейных уравнений и о количестве возможных решений дает следующая теорема:

Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности системы линейных уравнений):

Система линейных уравнений с n неизвестными совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы:

r(А) = r(В) = r, причем

1. если r = n (ранг матрицы равен числу неизвестных), то система имеет единственное решение;

2. если r < n (ранг матрицы меньше числа неизвестных), то система имеет бесконечное множество решений.

Пример 4.3. Найдите все решения системы линейных уравнений:

Решение. Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду.

Домножим первую строку на (-2) и сложим ее со второй строкой:

Сложим первую и третью строки:

Домножим вторую строку на 2 и сложим ее с третьей строкой:

~

Вычеркнем нулевую строку:

Видим, что ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен двум (r(А) = r(В) = 2). Следовательно, в силу критерия Кронеккера-Капелли, система имеет решения. Так как ранг матрицы (два) меньше числа неизвестных (3), то система имеет бесчисленное множество решений. Найдем эти решения.

Восстановим систему уравнений, равносильную исходной:

Пусть z – свободная переменная, которая может принимать любые числовые значения. Выразим x и y через z:

y = -z - 2;

x = -2у – 3; x = -2·(-z - 2) – 3; x = 2z + 4 – 3; x = 2z + 1.

Такое решение будем называть общим решением системы. Запишем общее решение системы в виде тройки чисел: (2z + 1; -z – 2; z).

Дата добавления: 2014-12-27