Ранг матрицы

Лекция 3. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА.

План:

1. Понятие обратной матрицы.

2. Алгоритм нахождения обратной матрицы.

3. Понятие ранга матрицы.

1. Понятие обратной матрицы.

Квадратная матрица А называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной, если ее определитель от­личен от нуля.

Матрица А^-1 называется обратной для матрицы А, если выполняется условие

А^-1·А = А ·А^-1 = Е,

где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А.

Если обратная матрица А^-1 существует, то матрица А называется обратимой. Нахождение обратной матрицы имеет большое значение при решении систем линейных уравнений и в вычислительных методах линейного программирования.

Встает вопрос: для каждой ли матрицы существует обратная? Примем без доказательства следующую теорему:

Теорема. Всякая невырожденная квадратная матрица имеет обратную.

1. Алгоритм нахождения обратной матрицы.

Для составления обратной матрицы используют следующую схему:

1. Вычисляют определитель матрицы А, причем | A | 0.

2. Находят алгебраические дополнения элементов матрицы А и составляют матрицу алгебраических дополнений А *:

А * =

3. Составляют матрицу (А*) ^т, транспонируя матрицу А *.

4. Находят обратную матрицу по формуле:

Пример 3.1. Найдите матрицу, обратную матрице

Решение: 1. Находим определитель матрицы А:

| A | =

2.Найдем алгебраические дополнения каждого элемента матрицы А:

Составляем матрицу из алгебраических дополнений А *: А *=

1. Транспонируем матрицу А *:

1. Составляем обратную матрицу по формуле:

Проверим, действительно ли матрица А ^-1 является обратной к матрице А. Должно выполняться равенство: , где Е – единичная матрица.

.

Получим, что , следовательно, матрица А ^-1 является обратной к матрице А.

Ответ: .

Пример 3.2. Найдите матрицу, обратную матрице А =.

Решение: 1. Находим определитель матрицы А.

Раскроем определитель по первому столбцу:

| A |= .

2. Найдем алгебраические дополнения каждого элемента матрицы А:

Составляем матрицу из алгебраических дополнений А *: А *= .

3. Транспонируем матрицу А *: (А *)^Т= .

4.Составляем обратную матрицу по формуле:

.

Ответ:

Дата добавления: 2014-12-27