Лекция 2. Определители. Свойства определителей

План:

1. Понятие определителя матрицы.

2. Свойства определителей.

3. Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя.

4. Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца.

5. Расчет определителей в электронных таблицах Microsoft Excel.

1. Понятие определителя матрицы.

Каждой квадратнойматрице можно поставить в соответствиенеко­торое число | A | или det A, называемое её определителем, следующим образом:

1. Если дана квадратная матрица первого порядка А = (а₁₁), тогда

det A = | A | = а₁₁.

Пример 2.1. Найдите определитель матрицы А = (-4)

Решение: det A = | A | = -4.

2. Если дана квадратная матрица второго порядка, то

| A | =

Вычисление определителя второго порядка легко проиллюстрировать схемой:

Пример 2.2. Найдите определитель матрицы А =

Решение:

Ответ: | A | = 14.

3. Определитель матрицы А третьего порядка вычисляетсяпо правилу треугольников (Сарруса)

основания равнобедренных треугольников параллельны главной диагонали

основания равнобедренных треугольников параллельны побочной диагонали

=

Пример 2.3. Найдите определитель матрицы А =

Решение:

= 4 + 4 + 0 – 6 = 2. Ответ: | A | = 2.

1. Свойства определителей.

1.Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот (свойство равноправности строк и столбцов).

= = а₁₁ а₂₂ - а₁₂ а₂₁

2. При перестановке двух строк или столбцов определитель
меняет свой знак на противоположный.

= а₁₂ а₂₁ - а₁₁ а₂₂ = -(а₁₁ а₂₂ - а₁₂ а₂₁) = -

3. Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен
нулю.

4. Общий множитель всех элементов строки или столбца можно вынести за знак определителя.

Следствие: Если элементы двух строк или столбцов определителя пропор­циональны, то определитель равен нулю.

Дата добавления: 2014-12-27