Понятие числовой последовательности

Лекция 8. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

План:

1. Понятие числовой последовательности

2. Монотонные последовательности

3. Ограниченные и неограниченные последовательности.

4. Предел последовательности. Свойства предела.

5. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

6. Признак сходимости монотонной последовательности. Число е.

Известные из школьного курса математики арифметическая и геометрическая прогрессии представляют собой примеры числовых последовательностей. Так, арифметическая прогрессия с первым членом а₁ =1 и разностью d =2 есть бесконечная числовая последовательность вида: 1; 3; 5; …; 1+2(n -1); …

Геометрическая прогрессия, первый член которой а₁ =1 и знаменатель q = т.е. прогрессия вида - также бесконечная числовая последовательность.

Задать числовую последовательность – значит задать правило, по которому каждому натуральному числу (номеру) соответствует одно и только одно действительное число а_n (значение члена последовательности с номером n).

Бесконечной числовой последовательностью называется функция , заданная на множестве натуральных чисел (п N).

Число а₁ называется первым членом последовательности, а₂ – вторым ,..., а_n – n -ым ( общим ). Индекс 1, 2, 3,…, n – номер элемента последовательности. Для обозначения числовой последовательности принята следующая запись: { а_n }.

Чаще всего последовательность задается с помощью формулы для нахождения а_n, например, а_n = .

Пример 8.1. Выпишите элементы последовательности а_n = .

Решение: Пусть n =1, тогда а₁ = = .

Подставляя вместо n значения 2, 3, 4, 5, 6 и т.д. получим остальные элементы последовательности, образующие бесконечное числовое множество:

{ ; ; ; ; ; …}

Пример 8.2. Выпишите элементы последовательности 3 п -2.

Решение: Подставляя вместо n значения 1, 2, 3 и т.д., найдем следующие элементы последовательности: {1; 4; 7; 10; 13; 16…}.

Пример 8.3. Выпишите элементы последовательности .

Решение: Выбирая в качестве n значения 1, 2, 3 и т.д., получим следующие элементы последовательности: {-1; ; ; ; ; …}.

Введенное понятие числовой последовательности имеет простую геометрическую интерпретацию. Отмечая на числовой оси значения а₁; а₂; а₃;...а_n…, получим множество точек, соответствующих данной последовательности.

В примере 8.1 последовательности соответствует следующее геометрическое изображение (рис. 8.1):

х

Рис. 8.1.

0 1

В примере 8.2 последовательности {3 п -2} соответствует изображение на рис. 8.2:

Рис. 8.2.

х

1

В примере 8.3 элементы последовательности { } можно представить следующим образом (рис. 8.3):

-1

х

Рис. 8.3.

1. Монотонные последовательности

Последовательность { а_n } называется убывающей, если каждый последующий член последовательности меньше или равен предыдущему, т.е. если () для всех п N.

Так, в примере 8.1 последовательность убывающая, т.к.

> > > > … > > …

Последовательность { а_n } называется возрастающей, если каждый последующий член последовательности больше или равен предыдущему ().

Так, в примере 8.2 последовательность {3 п -2} является возрастающей, т.к. каждый следующий член последовательности больше предыдущего:

1 < 4 < 7 < 10 < … < 3 п -2< …

Убывающие и возрастающие последовательности называют монотонными.

Не всякая числовая последовательность является монотонной. Так, в примере 8.3 числовая последовательность { } не является монотонной.

Дата добавления: 2014-12-27