Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Числовая последовательность называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю.

Например, последовательность является бесконечно малой, так как ее предел равен нулю (). Последовательность также бесконечно малая, так как .

Последовательность { а_n } называется бесконечно большой, если для любого наперед заданного положительного числа А найдется такой номер элемента N, что для всех n>N выполняется неравенство . В этом случае пишут: .

Пример 8.5. Покажите, что числовая последовательность - бесконечно большая.

Решение. Какое бы положительное число А мы ни выбрали (например, А =1000), найдется равное ему (если А – натуральное) или большее его натуральное число N (N= 1000),что для всех n>N (п =1001) выполняется неравенство (). Следовательно, , т.е. числовая последовательность - бесконечно большая.

Аналогично, числовая последовательность {3 п -2} из примера 8.2 - бесконечно большая и .

Установим связь между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями.

Теорема. Пусть { а_n } – бесконечно большая последовательность, тогда последовательность обратных величин - бесконечно малая.

И обратно, если { а_n } – бесконечно малая последовательность (причем а_п ≠0), тогда последовательность обратных величин - бесконечно большая.

Так, если последовательность - бесконечно большая, то последовательность обратных величин - бесконечно малая.

Дата добавления: 2014-12-27