Геометрический смысл дифференциала

Пусть - дифференцируемая в точке х функция, график которой изображен на рис. 12.2. Отметим на графике точку М, абсцисса которой равна х. В точке М проведем касательную МТ к графику функции .

Дадим аргументу х приращение . Из полученной точки восстановим перпендикуляр до пересечения с касательной (точка Т) и с графиком функции . Отметим на чертеже приращение аргумента (совпадает с длиной отрезка МN) и приращение функции .

Покажем, что дифференциал будет совпадать с длиной отрезка NТ. Рассмотрим треугольник МNТ – прямоугольный (по построению), . В этом треугольнике МN= , а . Выразим сторону NТ через МN и угол α: NТ= МN .

В силу геометрического смысла производной тангенс угла α, который образует касательная с положительным направлением оси Ох, равен значению производной функции в точке х: .

Поскольку NТ=МN , то NТ= , а есть ни что иное, как дифференциал . Получили, что NТ= .

Сформулируем геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции в точке х равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику этой функции в точке ().

Мы рассмотрели геометрический смысл дифференциала вогнутой функции. Можно показать, что для выпуклой функции (рис. 12.3) геометрический смысл дифференциала останется таким же. Отличие будет лишь в том, что дифференциал NТ окажется больше приращения функции.

Контрольные вопросы.

1. Что называют касательной к графику функции в точке М?

2. В чем заключается геометрический смысл производной?

3. Какой вид имеет уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке х_о?

4. Что называют дифференциалом функции?

5. В чем заключается геометрический смысл дифференциала?

Дата добавления: 2014-12-27