Понятие дифференциала функции

Уравнение касательной к кривой.

Составим уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке х_о. Нам известны координаты точки М (х_о; у_о) и угловой коэффициент прямой k = .

Тогда уравнение прямой, проходящей через точку с данным угловым коэффициентом k, имеет вид (лекция 6): .

Получили, что - уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке х_о.

Пример 12.2. Составьте уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке х_о=0.

Решение. Для составления уравнения касательной удобно использовать следующую схему: 1. Найдём у_о: у_о= .

2. Найдём : = = .

3. Вычислим : = .

4. Подставим у_о и в уравнение касательной: у=х - уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке х_о=0.

Ответ: у=х

Пусть функция имеет в точке х отличную от нуля производную . Это означает, что в точке х существует предел .

Тогда используем теорему 1 о пределе функции (лекция 9): функцию , стоящую под знаком предела , можно представить в виде: = b+α(х), где α(х) – бесконечно малая функция при → (т.е. ).

Выражение , стоящее под знаком предела, можно записать как , где при .

Выразим из этого выражения: или .

Таким образом, приращение функции представляет собой сумму двух слагаемых и . При этом второе слагаемое стремится к нулю быстрее, чем , поэтому говорят, что есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем . Следовательно, второе слагаемое практически не влияет на сумму. Поэтому первое слагаемое называют главной частью приращения функции .

Дифференциалом функции в точке называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается (или ): .

Найдем дифференциал независимой переменной , для этого рассмотрим функцию . Воспользуемся определением дифференциала: , т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: .

Поэтому определение дифференциала функции можно записать так: . Итак, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы следует равенство . Теперь можно ввести новое обозначение производной: .

Пример 12.3. Найдите дифференциал функции .

Решение. По формуле находим:

.

Дата добавления: 2014-12-27