Геометрический смысл производной

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

Лекция 12. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ.

План:

1. Геометрический смысл производной

2. Уравнение касательной к кривой

3. Понятие дифференциала функции

4. Геометрический смысл дифференциала

Геометрический смысл производной связан с понятием касательной.

Рассмотрим функцию - непрерывную на отрезке [ a; b ]. Выберем на графике точку М (х_о; f(х_о)) и произвольную точку N; проведем секущую МN ( рис. 12.1).

Касательной к графику функции в точке М будем называть предельное положение секущей МN, когда точка N, двигаясь по кривой, стремится к точке М.

Если на рис. 12.1 провести вспомогательный отрезок МР и рассмотреть прямоугольный треугольник МNР, то длина стороны NР= , а МР = . Найдем как отношение противолежащего катета к прилежащему: .

Тогда .

Мы нашли . Как же теперь осуществить переход к углу , который образует касательная с положительным направлением оси Ох? Очевидно, что если будет стремиться к 0, то угол β будет стремиться к углу . Эта же связь будет соблюдаться и для тангенсов углов и β, т.е. . Найдем предел : , а полученный предел есть ни что иное, как значение производной в точке х_о.

Таким образом, = . Кроме того, касательная – прямая с угловым коэффициентом k= . Тогда геометрический смысл производной можно сформулировать следующим образом:

Производная функции в точке х_о равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке х_о, и равна тангенсу угла наклона, который образует касательная с положительным направлением оси ОХ: k= = .

Геометрический смысл производной широко применяется при решении задач.

Пример 12.1. Найдите угол, образованный касательной к графику функции в точке х_о=0,5 с осью абсцисс.

Решение. Воспользуемся геометрическим смыслом производной: = .

Найдем : = .

Вычислим значение производной функции в точке х_о=0,5: = = .

Получили, что = =4 .

Ответ: .

Дата добавления: 2014-12-27