![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Метод Эйлера
Задача численного решения дифференциальных уравнений. Напомним, что дифференциальным называется уравнение, содержащее производную или дифференциал искомой функции, например, В практике чаше всего приходится иметь дело с задачей Коши: найти решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях ( Потребность в приближенном решении задачи Коши возникает прежде всего в том случае, если дифференциальное уравнение не принадлежит ни к одному из классов дифференциальных уравнений, для которых известны точные методы решения. Приближенные методы часто применяют и тогда, когда точные методы оказываются неэффективными, приводят к очень сложным расчетам и интегралам.
Пусть необходимо решить дифференциальное уравнение вида
1. С помощью точек хо=а, х1, х2,…, хп=b разобьём отрезок 2. Попытаемся искомую интегральную кривую приближенно заменить касательными, проведенными в крайней левой точке каждого отрезка [ хо;х1 ], [ х1;х2 ] … [ хп-1;хп ] (рис. 48.2) – А 0 А 1, А 1 А 2… Уравнение касательной, проведенной к графику функции 3. Рассмотрим первый отрезок [ хо;х1 ]. Касательная l 1, которую мы проводим к графику искомой функции в точке А 0, должна пройти через известную точку А 0 Поскольку точки По условию исходное дифференциальное уравнение имеет вид Подставим Длина отрезка [ хо;х1 ] равна Выразим из этого уравнения неизвестную переменную С помощью формулы (1) мы нашли ординату точки А 1, лежащей на касательной l 1. Если выбирать длину отрезка [ хо;х1 ] по-возможности небольшой, то ордината точки В 1, лежащей на искомой интегральной кривой и имеющей ту же абсциссу 4. Рассмотрим отрезок [ х1;х2 ]. Координаты точки А 1 Полученное число Формулу (2) в общем виде можно записать следующим образом: Пример 48.1. Дано дифференциальное уравнение Решение. Заданное дифференциальное уравнение Для удобства вычислений все расчеты будем выполнять в электронных таблицах Microsoft Excel. В качестве шапки таблицы можно предложить следующий вариант: В столбце А будет указываться номер выполняемого шага: 0, 1, 2… п. В столбце В будут располагаться значения х 0, х 1, х 2 …. хп. Поскольку хо – начало отрезка
![]() Данная таблица как раз и представляет собой численное решение задачи Коши методом Эйлера. Пользуясь этой таблицей можно построить на отрезке Подведем итог. Метод Эйлера задает простой алгоритм вычислений, но определяет табличные значения
Контрольные вопросы: 1. В чем заключается сущность задачи Коши при решении дифференциальных уравнений? 2. Когда применяются методы численного решения дифференциальных уравнений? 3. В чем заключается сущность метода Эйлера? СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Александрова Н.В. Математические термины: справочник / Н.В. Александрова. - М.: Высш. школа, 1978. - 190 с. 2. Валуце И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. пособие / И.И. Валуце, Г.Д. Дилигул. – М.: Наука, 1989. – 576 с. 3. Вычислительная математика: Учебное пособие для техникумов /Н.И.Данилина [и др.]; - М.: Высш. шк., 1985. – 372 с. 4. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2004. – 320с. 5. Исаков В.Н. Элементы численных методов: учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / В.Н. Исаков. – М.: Издательский центр "Академия", 2003. – 192 с. 6. Курс высшей математики для гуманитарных специальностей: Учеб. пособие / Ю.Д.Максимов [и др.]; - СПб.: Специальная Литература, 1999. – 191 с. 7. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. 8. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: Учебник. Ч. 2. / под ред. Г.Н.Яковлева. – 3-е изд. – М.: Наука, 1988. – 272 с. 9. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: [в 2 ч.] Ч.2. / Д.Т. Письменный. – М.: Айрис-пресс, 2007.- 256 с. 10. Сборник задач по дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению / В.К.Романко [и др.]; - М.: ЮНИМЕДИАСТАЙЛ, 2002. – 256 с. 11. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика / Глав. ред. М.В.Аксенова. - М.: Аванта+, 2000. - 688 с.
Дата добавления: 2014-12-27; Просмотров: 1167; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |