Квантова теорія

Серйозне вивчення квантової теорії в її сучасному формулюванні можливе лише після ознайомлення з повним університетським курсом лінійної алгебри. Оскільки вище було викладено лише початкові розділи цього курсу, зараз можна лише спробувати охарактеризувати в загальних рисах місце поняття векторного простору у загальній будові квантової механіки.

В основі квантової механіки лежить поняття стаціонарного стану фізичної системи, як такого її стану, який характеризується певними значеннями фізичних величин. Серед цих величин найважливішою є енергія, тому для визначеності будемо казати про стаціонарні енергетичні стани і вважатимемо, що енергія системи може набувати лише дискретних значень , . Дозволені значення енергії називають енергетичними рівнями фізичної системи. Квантова теорія вивчає системи як з обмеженою, так і з нескінченною кількістю рівнів.

Згідно з основними постулатами квантової механіки кожному енергетичному стану можна поставити у відповідність вектор стану, причому для векторів стану є справедливим принцип суперпозиції, за яким лінійні комбінації векторів стану також є векторами станів. Таким чином, вектори стану утворюють векторний простір .

Далі, усі енергетичні стани поділяються на два типи. Якщо фізична система перебуває в енергетичному стані першого типу, можна стверджувати, що в результаті вимірювання її енергії буде одержано одне з дозволених значень енергії . (Вектори станів першого типу зазвичай позначають символом ). Натомість, для станів другого типу існує ймовірність одержання кількох із дозволених значень енергії. Із формального точки зору різниця між станами двох типів пояснюється таким чином. Вектори енергетичних станів першого типу утворюють базис у просторі . Це означає, що довільний вектор простору може бути поданий у вигляді розкладу за векторами базису:

Вектори , для яких розклад містить більше одного доданка, відповідають станам другого типу. Імовірність отримання в результаті вимірювання значення енергії дорівнює квадрату модуля відповідного коефіцієнта розкладу: Отже, сума всіх величин обов'язково має дорівнювати одиниці.

[1] Тут і надалі використовуються символи математичної логіки та традиційні позначення теорії множин, розтлумачені в додатку 1.

[2]  – множина дійсних чисел,  – множина комплексних чисел. Якщо, то кажуть, що – дійсний векторний простір або просто векторний простір, якщо ж, то називають комплексним векторним простором.

[3] Властивість 1.35 є окремим випадком властивості 1.36.

[4] У цьому прикладі слід розуміти як  у степені і.

[5] Поняття "правої" та "лівої" трійки векторів буде докладно розглянуто в ч. 4.

[6] З методичною метою нижче застосовано позначення векторів арифметичного простору, уперше запропоновані Полем Діраком. Зручність цих позначень полягає в тому, що вектор-стовпчик важко переплутати з вектор-рядочком, а добуток, що є числом, з добутком який є матрицею порядку n. Позначення Дірака широко застосовуються в сучасній літературі з квантової механіки, квантової оптики, фізики твердого тіла тощо.

[7] За термінологією, яка застосовується в теорії груп і квантовій механіці, кажуть, що координатні стовпчики здійснюють зображення будь-якого векторного простору в арифметичний простір.

[8] Найважливіші відомості з теорії лінійних операторів можна знайти, напр., у книзі: Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. – М., 1971.

Дата добавления: 2014-12-29