Структурные средние. Для характеристики структуры совокупности используются особые средние - структурные средние

Для характеристики структуры совокупности используются особые средние - структурные средние. Показатели: мода и медиана.

Мода (М₀) – это наиболее часто встречающееся значение варьирующего признака.

В дискретном ряду распределения - это значение варианта с наибольшей частотой.

В интервальном ряду распределения мода находится по формуле:

,

где х₀ – нижняя граница модального интервала;

- величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота предмодального интервала;

- частота послемодального интервала.

Модальным будет тот интервал, который встречается в интервальном ряду наибольшее число раз.

Медиана (М_е) – это значение признака, которое находится в середине упорядоченного вариационного ряда.

Медиана делит ряд пополам и по обе стороны от неё находится одинаковое количество единиц совокупности.

Для вычисления медианы сначала определяют её место в ряду по формуле ,

где n – число единиц ряда.

В интервальном ряду распределения медиана находится по формуле:

,

где х₀ – начало или нижняя граница медианного интервала;

- величина медианного интервала;

- полусумма частот всего вариационного ряда;

S_Ме-1 – сумма частот накопленных до медианного интервала;

- частота медианного интервала.

Медианным будет тот интервал, в котором абсолютная накопленная численность единиц больше полусуммы их общей численности.

Мода и медиана широко используются в маркетинговых исследованиях.

Пример 6. Имеются результаты измерения роста (в см).

Случайно отобрано 100 студентов:

Рост	158-162	162-166	166-170	170-174	174-178	178-182	182-186
Число студентов

Найти моду и медиану.

Решение

1. Определение моды.

Модальный интервал находится по наибольшей частоте. В данном ряду распределения - это (170-174 см). Отсюда:

.

Следовательно, модальный рост студента – 170,4 см.

2. Определение медианы.

Прежде всего найдём медианный интервал. Таким интервалом, очевидно, будет интервал «170-174» см, поскольку его кумулятивная частота равна 78 (10+14+26+28), что превышает половину суммы всех частот (100:2=50). Отсюда:

.

Полученный результат говорит о том, что 50 студентов данной совокупности имеют рост менее 170 см и половина студентов имеет рост более 170 см.

6.4 Понятие вариации. Показатели вариации, расчёт показателей вариации

Вариация – это колеблемость, изменчивость величины признака у отдельных единиц совокупности.

Для характеристики размера вариации признака используют абсолютные и относительные показатели.

К абсолютным показателям вариации относятся:

- размах колебаний (R);

- среднее линейное отклонение ();

- дисперсия ( ²);

- среднее квадратическое отклонение ().

Самым элементарным показателем вариации признака является размах вариации R, представляющий собой разность между максимальным и минимальным значениями признака:

R=X_max-X_{min ..}

Однако этот показатель показывает лишь крайние отклонения признака и не отражает отклонений всех вариант в ряду. Для анализа вариации необходим показатель, который отражает все колебания варьирующего признака и даёт обобщённую характеристику этих отклонений.

Простейший показатель такого типа – среднее линейное отклонение. Этот показатель представляет собой среднюю арифметическую абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической:

- для несгруппированных данных: ,

где n - число единиц ряда;

- для сгруппированных данных: = ,

где - сумма частот вариационного ряда.

Дисперсия признака – это средний квадрат отклонений вариантов ряда от их средней величины. Она вычисляется по формулам простой и взвешенной дисперсий:

- простая дисперсия для несгруппированных данных:

;

- взвешенная дисперсия для вариационного ряда:

.

Формулу для расчёта дисперсии можно преобразовать, учитывая, что åх=n .

.

.

Данная формула используется в основном при машинной обработке информации. При ручной обработке информации используется вычисление дисперсии по «способу моментов»:

.

Среднее квадратическое отклонение (s) равно корню квадратному из дисперсии .

Дисперсию и среднее квадратическое отклонение не всегда можно непосредственно использовать для сравнения степени вариации по одному и тому же признаку в двух группах с разным уровнем средних или для сравнения вариации двух различных признаков в одной группе. В этих случаях используется относительный показатель вариации – коэффициент вариации, исчисляемый по формуле:

.

Коэффициент вариации показывает, на сколько процентов в среднем индивидуальные значения отличаются от средней арифметической. Можно сказать, что коэффициент вариации является критерием надёжности средней: если он превышает 33% (на практике 35%), то это свидетельствует о большой колеблемости в величине признака у отдельных единиц данной группы.

Дата добавления: 2014-12-29