Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Алгоритм сложения




Сложение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия, но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все суммы, которые получаются при сложении однозначных чисел, записывают в особую таблицу, называемую таблицей сложения однозначных чисел, и запоминают.

Естественно, смысл сложения сохраняется и для многозначных чисел, но практическое выполнение сложения происходит по особым правилам. Сумму многозначных чисел обычно находят, выполняя сложение столбиком.

Например,

+ 7238

Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические положения лежат в его основе.

Представим слагаемые 341 и 7238 в виде суммы степенейдесяти с коэффициентами: 341 + 7238 = (3·102 + 4·10 + 1) + (7·103 + 2·102 + 3·10 + 8).

Раскроем скобки в полученном выражении, поменяем местами и сгруппируем слагаемые так, чтобы единицы оказались рядом с единиц десятки с десятками и т.д. Все эти преобразования можно выполи на основании соответствующих свойств сложения. Свойство ассоциативности разрешает записать выражение без скобок: 3·102 + 4 ·10 + 1 + 7·103 + 2·102 + 3 ·10 + 8.

На основании свойства коммутативности поменяем местами слагаемые: 7·103 + 3·102 + 2·102 + 4·10 + 3·10 + 1 + 8. Согласно свойству ассоциативности, произведем группировку: 7·103 + (3·102 + 2·102) + (4·10 + 3·10) + (1 + 8). Вынесем за скобки в первой выдела группе число 102, а во второй - 10. Это можно сделать в соответствии со свойством дистрибутивности умножения относительно сложения:

7·103 + (3 + 2) ·102 + (4 + 3) ·10 + (1 + 8).

Итак, сложение данных чисел 341 и 7238 свелось к сложению однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов. Эти суммы находим по таблице сложения: 7·103 + 5·102 + 7·10 + 9. Полученное выражение есть десятичная запись числа 7579.

Видим, что в основе алгоритма сложения многозначных чисел лежат следующие теоретические факты:

- способ записи чисел в десятичной системе счисления;

- свойства коммутативности и ассоциативности сложения;

- дистрибутивность умножения относительно сложения;

- таблица сложения однозначных чисел.

Нетрудно убедиться в том, что в случае сложения чисел «с переходом через десяток» теоретические основы алгоритма сложения будут теми же. Рассмотрим, например, сумму 748 + 436.

Представим слагаемые в виде суммы степеней десяти с соответствующими коэффициентами: (7·102 + 4·10 + 8) + (4·102 + 3·10 +6). Воспользуемся свойствами сложения и дистрибутивностью умножения относительно сложения и преобразуем полученное выражение к такому виду: (7+4)·102+(4+3)·10+(8+6). Видим, что в этом случае сложение данных чисел также свелось к сложению однозначных чисел, но сумма 7+4, 8+6 превышают 10 и поэтому последнее выражение не является десятичной записью числа. Необходимо сделать так, чтобы коэффициенты перед степенями 10 оказались меньше 10. Для этого выполним ряд преобразований. Сначала сумму 8+6 представим в виде 1·10 + 4: (7 + 4)·102 +(4+3)·10+(1·10 + 4).

Затем воспользуемся свойствами сложения и умножения и приведем полученное выражение к виду: (7+4)·102+(4+3+1)·10+4. Суть последнего преобразования такова: десяток, который получился при сложении единиц, прибавим к десяткам данных чисел. И наконец, записав сумму 7+4 в виде 1·10+1, получаем: (1·10+1)·102+8·10+4. Последнее выражение есть десятичная запись числа 1184. Следовательно, 748+436=1184.

Выведем алгоритм сложения многозначных чисел в общем виде.

Пусть даны числа: х=аn×10nn–1×10n–1+…+а1×10+а0 и у=bn×10n+bn–1×10n–1+…+b1×10+b0, т.е. рассмотрим случай, когда количество цифр в записи чисел х и у одинаково, х+у=(аn×10nn–1×10n–1+…+а1×10+а0)+(bn×10n+ +bn–1×10n–1+…+b1×10+b0)=(аn+bn)×10n+(аn–1+bn–1)×10n–1+…(а0+b0) - преобразования выполнены на основе свойств ассоциативности и коммутативности сложения, а также дистрибутивности умножения относительно сложения. Сумму (аn+bn)×10n+(аn–1+bn–1)×10n–1+…(а0+b0), вообще говоря, нельзя рассматривать как десятичную запись числа х+у, так как коэффициенты перед степенями 10 могут быть больше 9. Лишь в случае, когда все суммы аk+bk, не превосходят 9, операцию сложения можно считать законченной. В противном случае выбираем наименьшее k, для которого аk+bk³10. Если аk+bk³10, то из того, что 0£аk£9 и 0£bk£ 9, следует неравенство 0£ аk+bk £18 и поэтому аk+bk можно представить в виде аk+bk=10+сk, где 0£сk£9. Но тогда (аk+bk)·10k=(10+сk)·10k=10k +1k×10k. В силу свойств сложения и умножения в (аn+bn)×10n+(аn–1+bn–1)×10n–1+…(а0+b0) слагаемые (аk+1+b k+1)×10k++(аk+bk)×10k могут быть заменены на (аk+1+bk+1+1)×10k +1k×10k. После этого рассматриваем коэффициенты аn+bn, аn–1+bn–1,+…аk+1+bk+1+1, выбираем наименьшее s, при котором коэффициент больше 9, и повторяем описанную процедуру. Через n шагов придем к выражению вида: х+у=(сп+10)×10n+…+с0, где сп¹0, или х+у=10n +1п×10n+…+с0, и где для всех n выполняется равенство 0£сп<10. Тем самым получена десятичная запись числа х+у.

В случае когда десятичные записи слагаемых имеют разное количество цифр, надо приписать к числу, имеющему меньшее количество цифр, несколько нулей впереди, уравняв количество цифр в обоих слагаемых. После этого применяется описанный выше процесс сложения.

В общем виде алгоритм сложения натуральных чисел, записанных в десятичной системе счисления, формулируют так:

1. Записывают второе слагаемое под первым так, чтобы соответст­вующие разряды находилось друг под другом.

2. Складывают единицы первого разряда. Если сумма меньше десяти записывают ее в разряд единиц ответа и переходят к следующему разряду (десятков).

3. Если сумма единиц больше или равна десяти, то представляют ее в виде а0+b0=1·10+с0, где с0 - однозначное число; записываютс0, в разряд единиц ответа и прибавляют 1 к десяткампервого слагаемого, после чего переходят к разряду десятков.

4. Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и процесс заканчивается, когда оказываются сложенными цифры старших разрядов. При этом, если их сумма больше или равна десяти, то приписываем впереди обоих слагаемых нули, увеличиваем нуль перед первым слагаемым на 1 и выполняем сложение 1+0=1.

Замечание. В этом алгоритме (как и в некоторых других) для краткости употребляется термин «цифра» вместо «однозначное число, изображаемое цифрой».




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-12-29; Просмотров: 6229; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.007 сек.