Алгоритм умножения

Описанный процесс позволяет сформулировать в общем виде алгоритм вычитания чисел в десятичной системе счисления.

1. Записываем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.

2. Если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соответствующей цифры уменьшаемого, вычитаем ее из цифры уменьшаемого, записываем разность в разряд единиц искомого числа, после чего переходим к следующему разряду.

3. Если же цифра единиц вычитаемого больше единиц уменьшае­мого, т.е. b₀>а₀, а цифра десятков уменьшаемого отлична от нуля, то уменьшаем цифру десятков уменьшаемого на 1, одновременно увеличив цифру единиц уменьшаемого на 10, после чего вычитаем из числа 10 + а₀ число b₀ и записываем разность в разряде единиц ис­комого числа, далее переходим к следующему разряду.

4. Если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц уменьшаемого, стоящие в разряде десятков, сотен и т.д. уменьшаемого, равны нулю, то берем первую отличную от нуля цифру в уменьшаемом (после разряда единиц), уменьшаем ее на 1, все цифры в младших разрядах до разряда десятков включительно увеличиваем на 9, а цифру в разряде единиц на 10: вычитаем b₀ из 10 + а₀, записываем разность в разряде единиц искомого числа и переходим к следующему разряду.

5. В следующем разряде повторяем описанный процесс.

6. Вычитание заканчивается, когда производится вычитаниеизстаршего разряда уменьшаемого.

Умножение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия. Но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все произведения однозначных чисел записывают в особую таблицу, называемую таблицей умножения однозначных чисел, и запоминают.

Естественно, что смысл умножения сохраняется и для многозначных чисел, но меняется техника вычислений. Произведение многозначных чисел, как правило, находят, выполняя умножение столбиком, по определенному алгоритму. Выясним, каким образом возника­ет этот алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе.

Умножим, например, столбиком 428 на 263.

´ 263

+ 2568

856__

Видим, что для получения ответа нам пришлось умножить 428 на 3, 6 и 2, т.е. умножить многозначное число на однозначное; но, умножив на 6, результат записали по - особому, поместив единицы числа 2568 под десятками числа 1284, так как умножали на 60 и получили число 25680, но нуль в конце записи опустили. Слагаемое 856 - это результат умножения на 2 сотни, т.е. число 85600. Кроме того, нам пришлось найти сумму многозначных чисел.

Итак, чтобы выполнять умножение многозначного числа на многозначное, необходимо уметь:

- умножать многозначное число на однозначное и на степень десяти;

- складывать многозначные числа.

Сначала рассмотрим умножение многозначного числа на однозначное.

Умножим, например, 428 на 3. Согласно правилу записи чи­сел в десятичной системе счисления, 428 можно представить в виде 4 × 10²+2 × 10+8 и тогда 428 × 3=(4 × 10²+2 × 10+8) × 3. На основании дистрибутивности умножения относительно сложения раскроем скобки: (4 × 10²+(2 × 10) × 3+8 × 3. Произведения в скобках могут быть найде­ны по таблице умножения однозначных чисел: 12 × 10²+6 × 10+24. Видим, что умножение многозначного числа на однозначное свелось к умножению однозначных чисел. Но чтобы получить окончательный результат, надо преобразовать выражение 12 × 10²+6 × 10+24 - коэф­фициенты перед степенями 10 должны быть меньше 10. Для этого представим число 12 в виде 1·10+2, а число 24 в виде 2·10+4. Затем в выражении (1·10+2)·10²+6·10+(2·10+4) раскроем скобки: 1·10³+2·10²+6·10+2·10+4. На основании ассоциативности сложения и дистрибутивности умножения относительно сложения сгруппируем слагаемые 6·10 и 2·10 и вынесем 10 за скобки: 1·10³+2·10²+(6+2)·10+4. Сумма 6+2 есть сумма однозначных чисел и может быть найдена по таблице сложения: 1· 10³+2·10²+8·10+4. Полученное выражение есть десятичная запись числа 1284, т. е. 428·3=1284.

Таким образом, умножение многозначного числа на однозначное основывается на:

- записи чисел в десятичной системе счисления;

- свойствах сложения и умножения;

- таблицах сложения и умножения однозначных чисел.

Выведем правило умножения многозначного числа на однозначное в общем виде.

Пусть требуется умножить х=а_n×10ⁿ+а_n–1×10^n–1+…+а₁×10+а₀ на однозначное число у:

х×у=(а_n×10ⁿ+а_n–1×10^n–1+…+а₁×10+а₀)×у=(а_n×у)×10ⁿ+(а_n–1× у)×10^n–1+…+а₀×у причем преобразования выполнены на основании свойств умножения. После этого, используя таблицу умножения, заменяем все произведения а_k×у, где 0£k£n, соответствующими значениями а_k×у=b_k×10+с и получаем:

х×у=(b_п×10+с_п)+(b_п-1×10+с_п-1)×10^п-1+...+(b₁×10+с₁)×10+(b₀×10+с₀)= =b_п×10^п+1+(с_п+b_п-1)×10^п+...+(с₁+b₀)×10+с₀. По таблице сложения заменяем суммы с_k+b_k-1, где 0£k£n и k=0,1,2,...,n, их значениями. Если, например, с₀ однозначно, то последняя цифра произведения равна с₀ . Если же с₀=10+m₀, то последняя цифра равна m₀, а к скобке (с₁ + b₀) надо прибавить 1. Продолжая этот процесс, получим десятичную запись числа х × у.

Описанный процесс позволяет сформулировать в общем видеалгоритм умножения многозначного числа на однозначное число у.

1. Записываем второе число под первым.

2. Умножаем цифры разряда единиц числа х на число у. Еслипроизведение меньше 10, его записываем в разряд единиц ответа и переходим к следующему разряду (десятков).

3. Если произведение цифр единиц числа х на число у большеили равно 10, то представляем его в виде 10q₁+с₀, где с₀ – однозначное число; записываем с₀ в разряд единиц ответа и запоминаем q₁ - перенос в следующий разряд.

4. Умножаем цифры разряда десятков на число у, прибавляемк полученному произведению число q₁ и повторяем процесс, описанный пп. 2 и 3.

5. Процесс умножения заканчивается, когда окажется умноженной цифра старшего разряда.

Как известно, умножение числа х на число вида 10^k сводится к приписыванию к десятичной записи данного числа k нулей. Покажем это. Умножим число х=а_n×10ⁿ+а_n–1×10^n–1+…+а₁×10+а₀ на 10^k:

(а_n×10ⁿ+а_n–1×10^n–1+…+а₁×10+а₀)×10^k=а_n×10^n+k+а_n–1×10^n+k–1+…+а₀×10^k. Полученное выражение является суммой разрядных слагаемых числа , так как равно

a_n×10^n+k+а_n–1×10^n+k–1+…+а₀×10^k+0×10^k-1+0×10^k–2+…+0×10 +0.

Например,

347·10³=(3·10²+4·10+7)·10³=3·10⁵+4·10⁴+7·10³=3·10⁵+4·10⁴+7·10³+0·10²+ +0·10+0= =347000

Заметим еще, что умножение на число у×10^k, где у – однозначное число сводится к умножению на однозначное число у и на число 10^k. Например, 52×300=52×(3×10²)=(52×3)×10²=156×10²=15600.

Рассмотрим теперь алгоритм умножения многозначного числа на многозначное. Обратимся сначала к примеру, с которого начинали, т.е. к произведению 428 × 263. Представим число 263 в виде суммы 2 × 10²+6 × 10+3 и запишем произведение 428 × (2 × 10² + 6 × 10 + 3). Оно, согласно дистрибутивности умножения относительно сложения, равно 428 × (2 × 10²) + 428 × (6 × 10) + 428 × 3. Отсюда, применив ассоциативное свойство умножения, получим: (428 × 2) × 10²+(428 × 6) × 10+428 × 3. Видим, что умножение многозначного числа 428 на многозначное число 263 свелось к умножению многозначного числа 428 на однозначные числа 2,6 и 3, а также на степени 10.

Рассмотрим умножение многозначного числа на многозначное в общем виде.

Пусть х и у - многозначные числа, причем у=b_m×10^m+b_m–1×10^m–1+…+b₀. В силу дистрибутивности умножения относитель­но сложения, а также ассоциативности умножения можно записать:

х×у=х×(b_m×10^m+b_m–1×10^m–1+…+b₀)=(х×b_m)×10^m+(х×b_m–1)×10^m–1+…+b₀×х. Последовательно умножая число х на однозначные числа b_m, b_m–1, …, b₀, а затем на 10^m, 10^m–1, …, 1, получаем слагаемые, сумма которых равна х× у.

Сформулирует в общем виде алгоритм умножения числа х= на число у = .

1. Записываем множитель х под ним второй множитель у.

2. Умножаем число х на младший разряд b₀ числа у и записываем произведение х × b₀ под числом у.

3. Умножаем число х на следующий разряд b₁ числа у и записываем произведение х×b₁, но со сдвигом на один разряд влево, что соответствует умножению х × b₁ на 10.

4. Продолжаем вычисление произведений до вычисления х×b_k.

5. Полученные k+1 произведения складываем.

Изучение алгоритма умножения многозначных чисел в начальном курсе математики, как правило, проходит в соответствии с выделенными этапами. Различия имеются только в записи. Например, при обосно­вании случая умножения многозначного числа на однозначное пишут:

428 × 3 = (400 + 20 + 8) × 3 = 400× 3 + 20× 3 + 8× 3 = 1200 + 60 + 24 = 1284.

Основой выполненных преобразований являются:

- представление первого множителя в виде суммы разрядных слагаемых (т.е. запись числа в десятичной системе счисления);

- правило умножения суммы на число (или дистрибутивность умножения относительно сложения);

- умножение «круглых» (т.е. оканчивающихся нулями) чиселна однозначное число, что сводится к умножению однозначных чисел.

Дата добавления: 2014-12-29