Алгоритм вычитания

Вычитание однозначного числа b из однозначного или двузначного числа а, не превышающего 18, сводится к поиску такого числа с, что b + с = а, и происходит с учетом таблицы сложения однозначных чисел.

Если же числа а и b многозначные и b < а, то смысл действия вычи­тания остается тем же, что и для вычитания в пределах 20, но техника нахождения разности становится иной: разность многозначных чисел чаще всего находят, производя вычисления столбиком, по определен­ному алгоритму. Выясним, каким образом возникает это алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе.

Рассмотрим разность чисел 485 и 231. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим данную разность в таком виде: 485-231=(4·10²+8·10+5)-(2·10²+3·10+1). Чтобы вычесть из числа 4·10²+8·10+5 сумму 2·10²+3·10+1, доста­точно вычесть из него каждое слагаемое этой суммы одно за другим, и тогда:

(4·10²+8·10+5)-(2·10²+3·10+1)= (4·10²+8·10+5)-2·10^2-3·10-1.

Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть его из какого-либо одного слагаемого (большего или равного этому числу). Поэтому число 2·10² вычтем из слагаемого 4·10², число 3·10 - из слагаемого 8·10, а число 1 - из слагаемого 5, тогда: (4·10²+8·10+5)-2·10^2-3·10-1 = (4·10² - 2·10²)+ (8·10 - 3·10)+(5-1).

Воспользуемся дистрибутивностью умножения относительно вычита­ния и вынесем за скобки 10² и 10. Тогда выражение будет иметь вид: (4-2)·10²+(8-3)·10+(5-1). Видим, что вычитание трехзначного числа 231 из трехзначного числа 485 свелось к вычитанию однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов в записи заданных трехзначных чисел. Разности 4 - 2, 8 – 3 и 5 - 1 находим по таблице сложения и получаем выражение: 2·10²+5·10+4, которое является записью числа 254 в десятичной системе счисления. Таким образом, 485 - 231 = 254. Выражение (4-2)·10²+(8-3)·10+(5-1) задает правило вычитания, которое обычно выполняется столбиком:

_ 485

231

Видим, что вычитание многозначного числа из многозначного основывается на:

– способе записи числа в десятичной системе счисления;

– правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа;

– свойстве дистрибутивности умножения относительно вычитания;

– таблице сложения однозначных чисел.

Нетрудно убедиться в том, что если в каком-нибудь разряде уменьшаемого стоит однозначное число, меньше числа в том же разряде вычитаемого, то в основе вычитания лежат те же теоретические факты и таблица сложения однозначных чисел. Найдем, например, разность чисел 760 - 326. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим эту разность в таком виде: 760 - 326 =(7·10²+6·10+0) - (3·10²+2·10+6).

Поскольку из числа 0 нельзя вычесть 6, то выполнить вычитание аналогичное тому, как было сделано в первом случае, невозможно. Поэтому возьмем из числа 760 один десяток и представим его в 10 единиц - десятичная система счисления позволяет это сделать тогда будем иметь выражение: (7·10²+5·10+10)-(3·10²+2·10+6). Если теперь воспользоваться правилами вычитания суммы из числа и числа из суммы, а также дистрибутивностью умножения относительно вычитания, то получим выражение (7-3)·10²+(5-2)·10+(10-6) и 4·10² + 3·10 + 4. Последняя сумма есть запись числа 434 в десятичной системе счисления. Значит, 760 - 326 = 434.

Рассмотрим процесс вычитания многозначного числа из многозначного в общем виде.

Пусть даны два числа

х= а_n×10ⁿ+а_n–1×10^n–1+…+а₁×10+а₀ и у=b_n×10ⁿ+b_n–1×10^n–1+…+b₁×10+b₀. Известно также, что у < х. Используя правила вычитания числа из суммы и суммы из числа, дистрибутивность умножения относительно вычитания, можно записать, что

х-у=(а_n-b_n)×10ⁿ+(а_n–1-b_n–1)×10^n–1+…(а₀ - b₀) (1)

Эта формула задает алгоритм вычитания, но при условии, что всех k выполняется условие а_k³b_k. Если же это условие не выполняете то берем наименьшее k, для которого а_k<b_k. Пусть m - наименьше индекс, такой, что m>k и а_m¹0, а а_m–1=…=а_k+1=0. Имеетместоравенство а_m×10^m=(а_m–1)×10^m+9×10^m-1+... + 9×10^k+1+10×10^k (например, если m=4, k=1, а_m=6, то 6·10⁴=5·10⁴+9·10³+9·10²+10·10). Поэтому в равенстве (1) выражение (а_m-b_m)×10^m+... + (а_{k -} b_k)×10^k можно заменить на (а_m-b_m-1)×10^m +(9-b_m–1)×10^m-1+ +(9-b_k+1)×10^k+1+(а_k+10×b_k)×10^k. Из того, что а_k<b_k<10, вытекает неравенство 0<10+а_k-b_k<10, а из того, что 0<b_s£ 9, вытекает неравенство 0<9- b_s<10, где k+1£s£ m - 1. Поэтому в записи х–у=(а_n-b_n)×10ⁿ+…+(а_m-b_{m - 1})×10 ^m+(9-b_m-1)×10^m–1+ …+ (9-b_{k +1})×10^k+1+(а_k+10-b_k)×10^k+…+(а₀-b₀)все коэффициенты с индексом, меньшим m, неотрицательны и не превосходят 9. Применяя далее те же преобразования к коэффициентам а_n - b_n, …, а_m- b_m - 1, через n шагов придем к записи разности х-у в виде х–у= с_п×10ⁿ+с_{п - 1}× 10 ^{n -1} …+ с₀, где для всех k выполняется неравенство 0<с_k<10. Если при этом ока­жется, что с_п = 0, то надо отбросить первые слагаемые, вплоть до первого коэффициента, отличного от нуля.

Дата добавления: 2014-12-29