Выражение векторного произведения через координаты сомножителей

Свойства векторного произведения

1..При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т. е. .

2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е. .

3. .

4. Если два ненулевых вектора коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю, и наоборот, из равенства нулю векторного произведения следует коллинеарность векторов.

5.

Пусть даны два вектора и .

Найдем их векторное произведение, перемножая их как многочлены, используя свойства векторного произведения:

+

Полученную формулу можно записать еще короче

=  

Приложения векторного произведения

Площадь параллелограмма и треугольника

Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения двух его смежных сторон: ,

Площадь треугольника, построенного на двух сторонах равна половине модуля векторного произведения:

Условие коллинеарности векторов

Если то и наоборот, т.е.

Смешанное произведение векторов

Рассмотрим произведение векторов и , составленное следующим образом: . Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется векторно-скалярным, или смешанным, произведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое число. Обозначается смешанное произведение:

Смешанное произведение трех векторов численно равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку.

Дата добавления: 2014-12-29