Обчислювальний експеримент (тестування)

Алгоритм роботи з моделлю

Постановка задачі

Вважаючи заданими

– механізм (правила) розподілу популяції за віковими групами;

– N ₀₁, N ₀₂, …, N _{0 k} – початковий кількісний склад вікових груп;

– B ₁, …, B_k – коефіцієнти народжуваності для відповідних груп;

– k – максимальний вік особин,

визначати чисельність кожної вікової групи і загальну чисельність популяції на протязі кожного з наступних m років, де N ₁, N ₂, …, N_k; k; m – додатні цілі числа; B ₁, …, B_k – додатні дійсні числа.

Примітка. Той факт, що в моделі Леслі фігурують коефіцієнти народжуваності на відміну від коефіцієнтів розмноження з попередніх моделей, дає привід думати, що вона пристосована більше до опису динаміки чисельності класу ссавців. Саме для їхнього розмноження застосовують термін «народжуваність».

1. Поклавши k = 6, створити електронну таблицю за зразком:

	A	B	C	D	E	F	G	H	І	J
		Nj – кількість у вікових групах
	Рік (і)	N 1	N 2	N 3	N 4	N 5	N 6	Σ Νj	Дано:
									Початкові чисельності:
									N 01=
…									…
									N 06=
									Коефіцієнти
									народжуваності:
									B 1=
…									…
									B 6=
...	...	...	...	...	...	...	...	...

2. Заповнити перший рядок таблиці іменами змінних.

3. Увести імена вхідних даних та знак «=» у стовпець «Дано:»

N ₀₁ =...,..., N ₀₆ =...; В ₁ =..., ..., В ₆ =...;

4. Заповнити другий рядок початковими значеннями змінних:

а) покласти і = 1;

б) проставити для N ₁₁, …, N ₁₆ відповідні значення посиланнями =$J$3, …, =$J$8 на комірки, що містять початкові значення N ₀₁, …, N ₀₆;

в) знайти загальну чисельність популяції на кінець року Σ Ν_j:

Σ N_j = N ₁₁ + … + N ₁₆.

5. Заповнити третій рядок таблиці

а) і = 2;

б) за Правилом 3 обчислити річний приплід минулого року, який є значенням першої вікової групи в поточному році:

N ₂₁ = В ₁· N ₁₁ + В ₂· N ₁₂ +... + В ₆· N ₁₆;

в) у відповідності до (*) – Правила 4 – для решти комірок цього рядка N ₂₂,…, N ₂₆ увести відповідно:

N ₂₂ = N ₁₁; N ₂₃ = N ₁₂; …, N ₂₆ = N ₁₅;

г) обчислити загальну чисельність популяції на кінець року:

Σ N_j = N ₂₁ + … + N ₂₆.

6. Повторювати п. 4 для і = 3, 4, … копіюванням всіх формул другого рядка в 11 наступних рядків.

Згідно пп. 1–5 уміст комірок таблиці має бути таким:

комірка	формули / числа	коментарі
з B2 по G2 H2 B3   з C3 по G3 H3	=$J$3,..., =$J$8 =СУММ(B2:G2) =B2*$J$11+C2*$J$12+D2*$J$13+E2*$J$14+F2*$J$15+G2*$J$16 =B2,...,=F2 =СУММ(B3:G3)	– зі стовпця «Дано:» – у стовпець «Σ Nj» Формули рядка 3 від B3 по H3 включно копіювати у наступні 11 рядків

1. Виконаємо тестування на прикладі деякої поки що вигаданої популяції, в якій особини мають максимальний вік 6 років:

- кількість вікових груп k = 6;

- початкові чисельності в групах нехай становлять:

N ₀₁ = 10, N ₀₂ = 13, N ₀₃ = 12, N ₀₄ = 15, N ₀₅ = 11, N ₀₆ = 14;

- коефіцієнтам народжуваності B_і надамо таких значень:

В ₁ = 0 (вважаємо, що особини першого року життя не здатні до відтворення);

В ₂ = 0,25; В ₃ = 0,3; В ₄ = 0,4; В ₅ = 0,35; В ₆ = 0,25.

Зауваження 1. Обрані значення початкових чисельностей N ₀₁,..., N ₀₆ та змінних k і В_j взяті довільно і без посилань на будь-які наукові джерела. Проте для тестування механізму роботи моделі такий підхід є цілком прийнятним.

Будемо відслідковувати динаміку чисельності популяції протягом m = 15 років, отже таблиця буде мати 16 рядків (рис. 6.2).

Перевірте:

– чи виконується правило переходу у наступний рік, зображене схемою на рис. 4.1?

– чи правильно обчислюються щорічні суми?

– чи правильно обчислюється приплід хоча б у початковому й наступному роках?

	A	B	C	D	E	F	G	H	І	J
		Nj – кількість у вікових групах
	Рік (і)	N 1	N 2	N 3	N 4	N 5	N 6	Σ Nj	Дано:
	1								Початкові чисельн.
	2								N 01=
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
	7								N 06=
	8								Коефіцієнти
	9								народжуваності:
	10								B 1 =
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
	15								B 6 =	0,25

Рис. 6.2

Виконайте самостійно тестування для випадку, коли початкові чисельності у всіх вікових групах за винятком останньої (шостої), дорівнюють нулю, наприклад, N ₀₁= N ₀₂=... = N ₀₅=0, а N ₀₆= 20 і проаналізуйте результати по пп. а), б), в) попередньої перевірки.

Виведемо на екран графіки, що відображають динаміку чисельності кожної з вікових груп N ₁,..., N ₆ (рис. 6.3(а) і динаміку загальної чисельності Σ N_ij популяції (рис. 6.3(б).

Аналіз графіків показує, що чисельність кожної окремої групи, як і загальна чисельність популяції після декількох коливань починає монотонно зростати, набуваючи вигляду, який дуже нагадує аналогічний графік для моделі Мальтуса, – графік показникової функції виду N = N ₀ е^kx.

Перевірте зазначений факт, наприклад, так: обчислюйте відношення будь-якого, починаючи з першого, елемента послідовності Σ N_ij до наступного Σ N _{(i+ 1) j} . Якщо значення таких відношень виявляться однаковими, то це і стане прямою вказівкою на те, що послідовність є геометричною прогресією, тобто дійсно являє собою показникову функцію.

Рис. 6.3(а)

Рис. 6.3(б).

З цією метою виконайте вправу.

Вправа

1. Після стовпця H (перед стовпцем I) створіть новий стовпець. Він стане стовпцем I, а колишній стовпець I стане тепер стовпцем K.

2. В комірку I3 уведіть формули (вирази) для обчислення відношень загальної чисельності популяції Σ N_ij попереднього й наступного років (=H2/H3). Скопіюйте цю формулу вниз в інші вільні клітинки нового стовпця.

3. Збільшіть у новому стовпці розрядність до п’яти десяткових знаків та перегляньте результати.

5. Зверніть увагу на коливання величини Σ N_ij, а також відношень H _i / H _{i +1} на початковій стадії еволюції (у перші кілька років).

6. Побудуйте графік залежності Σ N_ij = Σ N_ij (i), як це показано на рис. 6.3(в). Зверніть увагу на час моделювання.

Рис. 6.3 в

Корисно взяти до відому, що показникова функція є дуже поширеною при математичному описі багатьох природних, технічних і соціальних процесів.

8. Порівняйте моделі Мальтуса і Леслі, тобто вкажіть, у чому
вони схожі і чим відрізняються.

Дата добавления: 2015-01-03