Формалізована постановка задачі

Практична задача

Дослідимо динаміку чисельності популяції за покращеною моделлю на прикладі практичної задачі.

Задача. У тваринницькому господарстві займаються розведенням великої рогатої худоби за такою стратегією.

1. Основну масу тварин в стаді складають корови, тобто продуктивна частина популяції.

2. Із щорічного приплоду забирають бичків, яких у подальшому тримають окремо від основного стада і після першого року життя здають на м’ясо. Тобто однорічні бички утворюють одну зі складових м’ясної продукції господарства.

3. Другу частину м’ясної продукції становлять корови останньої вікової групи, яких в результаті пов’язаного з віком зниження молочної продуктивності також вилучають на м’ясо.

4. Умови утримання худоби забезпечують продуктивність та виживання тварин на досить високому рівні (S ₀≈0,9 ÷ 1).

Господарство планує придбати й надалі розводити нову, більш продуктивну породу корів. При цьому існує можливість придбати 20 тварин будь-якої із k вікових груп. Вартість тварини пропорційна її молочній продуктивності.

Тварин якої вікової групи найбільш доцільно придбати, щоб
забезпечити максимальну чисельність стада через 10 років?

Напевно, сформульована у такий спосіб задача не має прямого відношення до моделі Леслі, оскільки в її умові відсутні основні
параметри моделі – коефіцієнти народжуваності й виживання В і S_j. Однак того факту, що відомим є біологічний вид тварин, виявляється цілком достатньо, щоб побудувати прийнятну модель і виконати розв’язування задачі, тобто отримати змістовну відповідь.

З практичних спостережень відомо, що для корів молочна продуктивність з віком спочатку деякий час зростає, а потім спадає. Схожим чином (і це принципово важливо!) ведуть себе і коефіцієнти виживання S_j. Отже, між продуктивністю і коефіцієнтами виживання можна припустити існування деякої неявної відповідності.

Зв’язок між величинами, який суттєво ускладнюється наявністю багатьох невідомих випадкових факторів, на відміну від функціональної залежності, називають статистичним або кореляційним. Якщо такий зв’язок існує, то говорять, що величини корелюють між собою. В даному випадку молочна продуктивність корелює з коефіцієнтами виживання, тобто за зміною в часі коефіцієнтів виживання будемо судити про відповідну зміну молочної продуктивності.

Орієнтовні значення цих коефіцієнтів виживання можна уточнити, консультуючись із фахівцями. Поки відомо лише, що S_k =0 відповідно до п. 3 умови задачі.

Продовжимо міркування:

- група, яку збираються придбати, буде складатися з одних
корів (продуктивного поголів’я);

- кожна з тварин, починаючи з другої вікової групи, протягом року дає приплід, рівний 1;

- тварини першого року життя не здатні до відтворення
(В ₁= 0);

- у річному приплоді чисельності тварин обох статей з достатньою точністю будемо вважати розподіленими порівну.

Відповідно до п. 2 умови задачі коефіцієнти народжуваності для всіх вікових груп, крім першої (В ₁ = 0), слід прийняти однаковими:
В ₂ =... = В ₆ = 0,5.

Формалізація умови цієї задачі зведеться до її переформулювання в термінах моделі Леслі.

Будемо вважати заданими:

механізм розподілу популяції за віковими групами при переході в наступний рік (рис. 6.4);

N _{0 j} – початкову чисельність групи нових тварин (номер j цієї групи повинен задовольняти умові j ≤ k);

B ₁ = 0, B ₂ = B ₃ =... = B_k = 0,5 – коефіцієнти народжуваності для відповідних вікових груп;

S ₁, S ₂,..., S_k – коефіцієнти виживання кожної з вікових груп,
S_k = 0;

S ₀ – коефіцієнт виживання потомства;

k – максимальний вік особин.

Знайти таке значення j, при якому загальна чисельність нової популяції через m = 10 років буде максимально можливою.

Тут k, N _{0 j} , m – натуральні; B ₂,..., B_k, S ₂,..., S_k -₁ – додатні дійсні числа; B ₁ = 0, S_k = 0).

Дата добавления: 2015-01-03