Обратная матрица

Матрицы. Определение, умножение матриц на число и сложение их, умножение матриц, ранг матрицы и его нахождение путем элементарных преобразований, вычисление обратной матрицы по формулам и методом исключения.

Матрицы – это прямоугольные таблицы элементов (чисел, функций) из m строк и n строк.

m, n – порядки матрицы, они определяют размерность матрицы

Обозначение:

Если m = n, то матрица называется квадратной. В случае квадратной матрицы вводятся понятия главной и побочной диагонали матрицы (главная: i = j; побочная: i = n - j + 1).

[Равенство двух матриц] A = B, если

1) dim A = dim B

2)

Основные операции над матрицами:

1. Пусть dim A = dim B (необходимое условие), тогда суммой матриц А и В называется новая матрица С_m´n: с_ij = a_ij + b_ij . (1)

Обозначение: Операция получения суммы называется сложением.

Свойства операции сложения:

1° А+В=В+А (коммутативность)

2° (А+В)+С = А+(В+С) (ассоциативность)

Док-во: из определения.

2. Произведением матрицы А на число l R называется матрица С: c_ij = l a_ij (2)

Обозначение: (по определению, доказывать не надо)

Свойства:

1° (lm)А = l(mА) (ассоциативность)

2° l(А+В) = lА+lВ (дистрибутивность операции умножения относительно сложения матриц)

3° (l+m)А = lА+mА (дистрибутивность операции умножения относительно сложения чисел)

Док-во из определения, расписываются левые и правые части и сравниваются.

3. Умножение матрицы на матрицу (перемножение матриц)

Произведением м-ы А_m´n на м-цу В_n´p называется матрица С_m´p: (3)

Обозначение:

(Строка i матрицы А умножается на столбец j матрицы В в смысле скалярного произведения)

Свойства:

1° (АВ)С=А(ВС) (ассоциативность)

2° А(В+С) = АВ+АС

(А+В)С = АС+ВС (дистрибутивность)

Док-во через сравнение размерностей прав и лев частей.

ЗАМ: Произведения АВ и ВА определены и имеют одну и туже размерность лишь тогда, когда, А и В – квадратные матрицы одного и того же порядка. Для таких матриц можно исследовать коммутативность. Вообще говоря, коммутативность не выполняется АВ ВА. Можно показать на простых примерах. Имеются некоторые частные случаи, когда коммутативность выполняется:

Если D = D_n – диагональная матрица, то . В частности если D = E и D = 0.

Минором k-ого (M_k) (где k≤{m,n}) порядка м-цы А_{m n} наз-ся определитель k-ого порядка с элементами, расположенными на пересечении произвольных k строк и k столбцов. Ес.

Число r, обладающий св-вами 1 и 2 наз-ют рангом м-цы А. При этом Mr наз-ют базисным минором, строки и столбцы, образующие минор сами наз-ся базисными.

Ранг матрицы – max порядок отличных от 0 миноров r(A)=rang(A).

Из Т. о базисном миноре (базисные строки (столбцы) линейно независимы; любая строка (столбец) представляется в вилле линейной комбинации базисных строк) следует, что ранг матрицы есть max число линейно независимых строк или столбцов.

Находят ранг несколькими способами:

1. методом элементарных преобразований. Используют тот факт, что элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранг. Элементарные преобразования:

- перестановка любых двух строк (столбцов)

- умножение любой строки (столбца) на любое число, не равного 0

- умножение любой строки (столбца) на любое число и прибавление полученного результата к любой строке (столбцу)

Используя элементарные преобразования, приводят матрицу к треугольному виду, более того можно привести к диагональному виду.

Пр-р:

по построению первого определителя, отличного от нуля, ранг м-цы=2.

2. метод окаймляющих миноров. Пусть в матрице найден , тогда рассматривают лишь те миноры (k + 1) порядка, которые содержат в себе .

Если все такие миноры = 0, то r(A) = k. Если же среди них , то процесс повторяется.

Дана м-ца

Зам: м-ца А^-1 наз-ся обратной к А, если АА^-1=А^-1А Е, где Е – единичная м-ца.

А^-1 существует тогда и только тогда, когда

Нахождение обратной матрицы

1. По формулам:

1. Вычисляется ,
2. Если det A 0, то вычисляется P=P_A (А_ij)_{n n} (где – алгебраическое дополнение),
3. транспонируем В=Р^Т,
4. .

Дата добавления: 2015-01-03