Решение. Длина 8 см) перпендикулярна основанию, вписать прямоугольник наибольшей площади так, чтобы одна из его сторон лежала на большем основании трапеции

Длина 8 см) перпендикулярна основанию, вписать прямоугольник наибольшей площади так, чтобы одна из его сторон лежала на большем основании трапеции. Основания трапеции равны 6 и 10 см cоответственно. Вычислить площадь этого прямоугольника.

Рассмотрим отдельно два случая.

Первый -вершина прямоугольника P лежит на боковой стороне трапеции CD.

Второй - вершина P лежит на основании трапеции ВС.

В первом случае обозначим стороны прямоугольника

|AQ|=x и |AK|=y.

Составим уравнение, связывающие неизвестные x и y.

Для этого проведем вспомогательный отрезок BL, параллельный стороне CD и рассмотрим два треугольника ABL и QPD.

Катеты этих треугольников равны соответственно

|AB|=8, |AL|=4, |QD|=10-x, |PQ|=y.

Искомое уравнение получается тогда из условия подобия треугольников ABL и QPD:

или y=20-2x.

Площадь прямоугольника AKPQ равна S(x)=x(20-2x).

Интервал изменения x в первом случае находится из условия, что точка Q - проекция точки P, лежащий на стороне СD, cледовательно, х 6.

Таким образом, задача свелась к отысканию наименьшего значения функции S(x) на промежутке [6;10]. Единственная критическая точка функции S(x): x=5 не принадлежит найденному промежутку.

Следовательно, производная функции S(x) не меняет на этом промежутке знак.

Вычисляя производную S(x) в произвольной точке промежутка [6;10], убеждаемся, что она отрицательна.

Таким образом, наибольшее значение S(x) достигается в левом конце промежутка, т.е. max S(x)=S(6)=48см²

x [6;10]

Площадь прямоугольников, относящихся по второму случаю, не превосходит 48см², т.к. при одинаковой боковой стороне равной 8см, длины их оснований не могут быть больше 6см.

Ответ: 48см²

Задача № 9.

Из квадратного листа жести со стороной а требуется вырезать развертку правильной четырехугольной пирамиды так, чтобы вершины квадрата склеивались в вершину пирамиды. Как это сделать, чтобы получить пирамиду наибольшего объема?

Решение. Пусть АВСD - данный квадрат, О - его центры и KLMN – основание искомой пирамиды. Обозначив через К расстояние от точки К до стороны АВ, выразим объем пирамиды как функцию x.

Получим:

Следовательно,

Функция принимает наибольшее значение одновременно с функцией .

Вычислим производную:

0<x<

В этой задаче промежуток содержит лишь одну критическую точку. Поэтому достаточно сравнить значение функции в этой точке со значениями на концах промежутка

Имеем, V(0)=V( =0

V( >0

следовательно, при х= функция V имеет наибольшее значение.

Таким образом, объём будет наибольшим тогда, когда диагональ её основания равна сторона квадрата.

Задача № 10. В круг радиуса а вписан равнобедренный треугольник. При каком соотношении сторон треугольник будет иметь наибольшую площадь.

Решение:

Пусть АВС= , тогда по теореме синусов имеем АВ=2 sin .Далее из АDC СD = АD ctg = sin ctg = a sin a = a (1 + cos a).

Рассмотрим площадь треугольника как функцию переменной а (0 ):

S (a) = = sin a (1+ cos a) = (sin a + 0,5 sin 2a).

S` = (cos a + cos 2a) = (2cos² a + cos a – 1) =

= a² (cos a + 1) (2cos a – 1).

Т.к cos + 1> 0 ( (0: п)), то S` (a) = 0 при cos a = 0,5, откуда .

Если 0 < a < , то S` (a) > 0, т.е S (a) возрастает на

(0; ]. Если < a < , то S` (a) < 0, т.е. S(a) убывает на [ ; ) /

Итак, max S(a) = S ()

(0; )

Если d = , то треугольник равносторонний.

Задача № 11.

Вписать в круг радиуса R прямоугольник наибольшей площади.

Дата добавления: 2015-01-03