Решение. Обозначим длину одной из сторон прямоугольника через x, тогда длина другой стороны равна

Решение.

Обозначим длину одной из сторон прямоугольника через x, тогда длина другой стороны равна .

Заметим, что 0<x<2R, т.к. x -длина хорды окружности радиуса R, отличная от диаметра. Следовательно, площадь прямоугольника .

Hайдем наибольшее значение функции S(x) на

отрезке [0;2R].

Имеем S’(x)=0, т.е. 4R²-2x²=0, откуда x₁=R и x₂=-R

Значит, надо сравнить значение функции при x=R и на концах отрезка x=0 и x=2R.

Т.к. S(0)=S(2R)=0, а S(R )=2R², то функция принимает наибольшее значение на [0;2R) при х=R . Поскольку наибольшее значение функции S(x) на отрезке [0;2R) достигается

в точке x= R .

При этом длина другой стороны прямоугольника равна , то есть искомым прямоугольником служит квадрат.

Задача № 12. Из всех прямоугольников данного периметра найти тот, у которого диагональ наименьшая.

Пусть периметр прямоугольника равен 2 а и одна из сторон прямоугольника равна х, тогда другая сторона будет

Диагональ прямоугольника - переменная величина, обозначив её через у, получим по теореме Пифагора у²=х²+(а-х)²,

или у²=2х²-2ах+а², откуда у= , где 0<x<a.

Исследуем функцию у= с помощью первой производной:

=

2х-а=0 х=

Значит, прямоугольник квадрат.

Знаменатель дроби положительный, поэтому достаточно исследовать только числитель: y’>0, если х> .

Производная меняет знак с минуса на плюс на плюс, следовательно, функция х= имеет минимум.

Таким образом, из всех прямоугольников данного периметра наименьшую диагональ имеет квадрат.

14. Цели:

• Повторить, обобщить и систематизировать знания о производной.
• Закрепить навыки нахождения производных.
• Проверить уровень сформированности навыка нахождения производных, способствовать выработке навыков в применении производной к решению физических задач.
• Развивать логическое мышление, память, внимание и самостоятельность.

Оборудование: Мультимедийный экран, карточки с тестами, карточки с задачами по физике.

Дата добавления: 2015-01-03