Лекция 4. Матрицы и действия над ними. Определители второго и третьего порядка

Теорема.

1) Для любых подстановок -ой степени

2) Существует так называемая единичная (тождественная) подстановка такая, что

3) Для каждой подстановки существует обратная подстановка такая, что

Определение. Подстановка называется циклом длины и записывается . Цикл длины 2 называется транспозицией.

Теорема. Каждая подстановка является произведением независимых (непересекающихся) циклов длины 2. Разложение в произведение определено однозначно с точностью до порядка следования циклов.

Теорема. Каждая подстановка является произведением транспозиций.

Пусть - поле.

Определение. Матрицей (над полем ) размера называется прямоугольная таблица элементов из поля , содержащая строк и столбцов. Элементы поля , составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Обозначение: или

- множество матриц размера с элементами из поля .

Если , то матрица называется квадратной, а число называется порядком квадратной матрицы.

Матрицу, имеющую только одну строку, называют матрицей – строкой. Матрицу, имеющую только один столбец, называют матрицей – столбцом.

Определение. Две матрицы и называются равными, если и , .

Элементы матрицы , у которых , называются диагональными и образуют главную диагональ.

Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной.

Если у диагональной матрицы - го порядка все диагональное элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей - го порядка, она обозначается буквой .

Матрица любого размера называется нулевой, или нуль – матрицей, если все ее элементы равны нулю:

Основными матричными операциями являются умножение матрицы на число, сложение и умножение двух матриц.

Пусть .

Определение. Суммой матриц и называется матрица , элементы которой . (т.е. матрицы складываются поэлементно).

Определение. Произведением матрицы на число называется матрица элементы которой .

Обозначим .

Разность матриц и определяется следующим образом: .

Произведение двух матриц определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Пусть .

Определение. Произведением матриц и называется матрица , элементы которой имеют вид:

Рассмотрим матрицу .

Определение. Матрица , получающаяся из заменой строк столбцами, называется транспонированной по отношению к .

Операция транспонирования обладает следующими свойствами:

1.

2.

3. ,

Дата добавления: 2014-12-24