Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа

Вычислять определители -го порядка, применяя непосредственно их определение, крайне затруднительно. Существуют более простые методы вычисления определителей, основанные на том, что определитель n-го порядка может быть выражен через определители более низких порядков.

Определение. Минором - го порядка определителя n-го порядка называется определитель квадратной матрицы -го порядка, составленной из элементов, расположенных на пересечениях выбранных строк и столбцов данного определителя -го порядка.

Определение. Определитель матрицы -го порядка, составленной из элементов, расположенных на пересечениях остальных строк и столбцов, называется дополнительным минором для выбранного минора - го порядка.

Определение. Если минор -го порядка расположен в строках с номерами и в столбцах с номерами то назовем алгебраическим дополнением минора его дополнительный минор , взятый со знаком .

Определение. Минором элемента определителя -го порядка называется определитель -го порядка, получающийся после вычеркивания из определителя -го порядка - ой строки и - го столбца.

Определение. Алгебраическим дополнением элемента определителя -го порядка называется минор элемента со знаком .

Теорема. Определитель -го порядка равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки на их алгебраические дополнения.

Теорема. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки равна нулю.

Теорема. Если все элементы определителя, расположенные по одну сторону от главной диагонали равны нулю, то этот определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

Теорема Лапласа. Пусть в определителе порядка произвольно выбраны строк (или столбцов). Тогда сумма произведений всех миноров - го порядка, содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна определителю .

Дата добавления: 2014-12-24