Пример 3.9

Пример 3.8

Найти уравнение движения точки массы , на которую действуют восстанавливающая сила и сила , если в начальный момент точка находилась в положении равновесия в состоянии покоя.

Дифференциальное уравнение движения точки имеет вид:

или

где

Частное решение будем искать в виде:

, где – искомая константа.

Подставляя предполагаемый вид решения в уравнение, получаем:

откуда

Получаем общее решение дифференциального уравнения движения в виде:

Вычислим скорость точки:

Остается определить постоянные интегрирования и . Подставляя начальные условия

в полученные уравнения, находим:

Окончательно получаем:

Определить движение гири массы , подвешенной на пружине , верхний конец которой начинает совершать гармонические колебания по вертикали амплитуды с частотой (Рис. 3.7). Жесткость пружины равна . В начальный момент точка занимает свое среднее положение и её скорость направлена вниз, а гиря висит на пружине в состоянии покоя.

Начальное положение точки , т.е. её положение статического равновесия, примем за начало координат, а ось направим по вертикали вниз.

Удлинение пружины в любой момент времени складывается из статического удлинения, удлинения, которое возникает при смещении груза из положения равновесия, при заданных начальных условиях, и удлинения за счёт принудительного перемещения верхнего конца пружины:

Возмущающая сила возникает из-за принудительного перемещения верхнего конца пружины:

Дифференциальное уравнение движения имеет вид:

где

Рис. 3.7

Рассмотрим возможные случаи.

Если , общее решение имеет вид:

а скорость точки вычисляется по формуле:

Подставляя в полученное общее решение нулевые (по условию задачи) начальные условия, находим:

Искомое решение имеет вид:

2. Если , общее решение может быть записано в виде:

Для скорости точки получаем:

Подставляя в полученное общее решение нулевые начальные условия, находим:

Окончательно получаем:

Дата добавления: 2014-12-25