Частотный критерий устойчивости Михайлова

Заменим в полиноме А(р) на , тогда:

, (5.22)

где U(ω) – вещественная часть полинома ,

V(ω) – мнимая часть полинома .

На комплексной плоскости он может быть представлен в виде вектора. При изменении от до вектор своим концом опишет в комплексной плоскости кривую, которая называется годографом Михайлова или характеристикой кривой. Поскольку функция является чётной функцией , а - нечётная, то годограф Михайлова симметричен относительно вещественной оси. Поэтому нет необходимости рассматривать весь годограф Михайлова, а достаточно рассмотреть лишь одну его часть, которая вычерчивает вектор при изменении от 0 до . Тогда из уравнения (5.21) следует, что для устойчивой системы приращение аргумента вектора при изменении от до должно быть

(5.23)

Полученное выражение и есть частотный критерий устойчивости Михайлова, в математической форме. Словами его можно выразить так

САУ устойчива тогда и только тогда, когда характеристический вектор при изменении от 0 до последовательно обходит число квадрантов, равное порядку характеристического уравнения, нигде не обращается в нуль.

На рисунке 5.2 показаны годографы Михайлова для устойчивых систем при различных значениях n. Все они начинаются при ω=0 со значением а₀ на положительной полуоси. Это означает, характеристические уравнения приведены к виду, при котором их коэффициенты положительны. Годографы, изображённые на рисунке 5.2 уходят в бесконечность при ω→∞ и обходят соответствующее число квадрантов.

Пример 5.3.

Определить устойчивость системы, характеристическое уравнение которой

Заменим р на jω, получим

.

Составим таблицу

(ω)			-1
(ω)		0,353

Рисунок 5.3

Построим годограф рисунок 5.3.

Система устойчива, поскольку годограф Михайлова огибает три квадранта (по числу равному порядку характеристического уравнения)

Пример 5.4.

Характеристическое уравнение системы .

.

Проделав аналогичные расчеты, построим график рисунок 5.4.Система стала не устойчивая, поскольку годограф Михайлова огибает всего два квадранта (что не равно порядку характеристического уравнения).

Пример 5.5.

Характеристическое уравнение системы .

. Построим график рисунок 5.5. Система находится на грани устойчивости, поскольку годограф Михайлова огибает два квадранта вместо трёх и проходит через начало координат.

Дата добавления: 2014-12-25