Математические характеристики точности приближенных чисел

Точные и приближенные числа. Правила округления чисел

В повседневной практической деятельности, а также при решении той или иной задачи используются числа двух видов: точные и приближенные. Например, число 3 является точным, если речь идет о числе сторон треугольника. Если же число 3 – длина стороны треугольника или оно используется вместо числа p в вычислениях, то оно будет числом приближенным.

Определение 1. Приближенным числом а называется число, незначительно отличающееся от точного числа А и заменяющее его в вычислениях.

Приближенные числа обычно получаются в результате либо измерений, либо счета, либо выполнения различных математических операций (округления, деления, извлечения корня, вычисления синуса, логарифма и т.д.).

При работе с приближенными числами вычислитель должен уметь решать следующие задачи:

1. давать математические характеристики точности приближенных чисел;

2. зная степень точности исходных данных, оценивать степень точности результата (прямая задача теории погрешностей);

3. выбирать исходные данные с той точностью, которая обеспечит заданную точность результата (обратная задача теории погрешностей);

4. оптимальным образом строить вычислительный процесс, чтобы не производить расчетов, не влияющих на точные цифры результата.

Как уже говорилось, одним из источников получения приближенных чисел является округление. Сформулируем правила округления:

1. если отбрасываемые при округлении цифры составляют число, большее половины единицы последнего оставляемого разряда, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу;

2. если отбрасываемые при округлении цифры составляют число, меньшее половины единицы последнего оставляемого разряда, то оставляемые цифры остаются без изменения;

3. при округлении, когда отбрасываемые цифры составляют число, равное половине единицы последнего оставляемого разряда, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу, если она нечетная, и остается без изменения, если она четная (правило четной цифры).

Пример 1. Округлить следующие числа:

А₁ = 271,5001 до целых,

А₂ = 271,15 до десятых,

А₃ = 271,25 до десятых,

А₄ = 0,15497 до сотых.

Решение. Так как при округлении числа А₁ до целых отбрасываемые цифры (5001) составляют число 0,5001, большее половины от единицы (последнего оставляемого разряда), последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу (пункт 1). Поэтому после округления А₁ получаем число а₁ =272.

При округлении чисел А₂ и А₃ по правилу четной цифры (пункт 3) получаем а₂ = 271,2; а₃ = 271,2.

При округлении числа А₄ (пункт 2) получаем а₄ =0,15.

Определение 2. Абсолютной погрешностью приближенного числа а назовем величину , про которую известно, что

. (1.1)

Таким образом, точное число заключено в границах

(1.2)

или сокращенно

. (1.3)

Пример 2. Приближенные числа получены округлением, точные значения чисел неизвестны. Что можно сказать об абсолютной погрешности данных приближенных чисел?

Решение. Пользуясь правилами округления чисел, можно сказать, что абсолютные погрешности приближенных чисел не превосходят половины единицы последнего разряда, т.е.

Кроме того, можно записать:

Пример 3. Округлить числа p = 3,14159265…и е = 2,71828182…до сотых и определить абсолютную погрешность полученных приближенных чисел.

Решение. В силу правил округления имеем

а₁ = 3,14; а₂ = 2,72.

По определению абсолютной погрешности

Замечание 1. Абсолютную погрешность принято записывать в виде числа, содержащего не более одной или двух цифр, отличных от нуля (двух значащих цифр).

Замечание 2. В силу определения погрешности абсолютную погрешность округляют до одной или двух значащих цифр только в большую сторону (не придерживаясь сформулированных выше правил округления чисел).

В примере 3 в качестве абсолютной погрешности чисел а₁ и а₂ можно взять значения:

Абсолютная погрешность отражает лишь количественную сторону погрешности, но не качественную, т.е. не показывает, хорошо или плохо проведено измерение или вычисление.

Пример 4. при измерении толщины и длины крышки стола были получены результаты:

Определить, в каком случае измерение было сделано более качественно.

Решение. Абсолютная погрешность измерения для l₁ и l₂ одинакова и равна

.

Однако очевидно, что измерение l₂ было проведено более качественно, чем l₁. Для того, чтобы определить качество измерений и вычислений, необходимо выяснить, какую долю составляет абсолютная погрешность от определяемой величины. В связи с этим вводится понятие относительной погрешности.

Определение 3. Относительной погрешностью приближенного числа а называется отношение абсолютной погрешности к абсолютной величине приближенного числа а:

(1.4)

В примере 4 относительные погрешности измерения толщины и длины соответственно равны

Следовательно, измерение длины l₂ было произведено намного качественнее.

Замечание 3. Относительная погрешность представляет собой безразмерную величину.

При вычислении относительную погрешность округляют в большую сторону и записывают в виде числа, содержащего одну-две значащие цифры.

Дата добавления: 2014-12-25