Выбор оптимального шага численного дифференцирования

Оценка абсолютной погрешности численного дифференцирования складывается из остаточной погрешности, оцениваемой величиной , и вычислительной погрешности, определяемой приближенным заданием величин y_i, i=0,1,...,n, (погрешностью округления результата пренебрегаем). Рассмотрим для определенности формулу (19).

Приближенное значение производной

(22)

имеет остаточную погрешность

и вычислительную погрешность согласно равенству (9) темы I

где - абсолютная погрешность каждого из чисел y_i, i=0,1,...,n.

Таким образом, полная погрешность формулы численного дифференцирования (22)-

Для малости необходима малость h, но при уменьшении h растет . Из уравнения получаем значение h^*, при котором погрешность формулы (22) имеет минимальное значение.

Задача.

Функция f(x) задана таблицей своих значений, верных в написанных знаках. Найти первую производную этой функции в точках x₁^*=0,7 и x₂^*=1,0. Оценить погрешности результатов. Найти оптимальный шаг h^* для каждой из формул численного дифференцирования.

Xi	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
yi	0,4794	0,5646	0,6442	0,7174	0,7833	0,8415

Дата добавления: 2014-12-25