ЗАНЯТИЕ 6. Контрольная работа №1. Прием части-1 БДЗ. 1 страница

ЗАНЯТИЕ 5. Различные виды уравнения плоскости в пространстве: общее, неполное, в отрезках, проходящее через три точки, проходящее через точку нормально данному вектору. Расстояние от точки до плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Канонические уравнения прямой в пространстве.

ЗАНЯТИЕ 4. Различные виды уравнения прямой на плоскости: общее, параметрическое, каноническое, через угловой коэффициент, проходящее через две точки. Определение угла между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности. Расстояние от точки до прямой.

ЗАНЯТИЕ 3. Правые и левые тройки векторов. Векторное произведение векторов: определение и свойства (физический смысл). Векторное произведение векторов, заданных своими проекциями. Смешанное произведение векторов.

☺ ☻ ☺

Пусть векторы , , образуют правую тройку. Векторное произведение для векторов , записывают в виде: = x = = ∙ – ∙ j + ∙ k = , причём = = ∙ , где – угол между векторами , (известно: , то есть ≥0).

Для векторов , , определено векторно-скалярное, то есть смешанное, произведение: ( x )∙ или ∙( x ). В координатной форме вычисление определяется выражением:

( x )∙ = – + = = = .

Известно, что векторное произведение обладает свойствами: 1) = , 2) , 3) = + .

Используют также выражение: |( x )∙ |=| |∙| |∙| |∙ ∙ =| V | – объём параллелепипеда, построенного на векторах , , . Из последнего следует условие компланарности этих векторов: ( x )∙ =0.

••• ≡ •••

Пример 1 – 98: Векторы и образуют угол . Зная, что , , вычислить: 1) , 2) , 3) .

Замечание: применение вместо записи векторов в виде: и предпочтительнее, чем использование записей векторов с индексами (учитывая почерк большинства!).

Решение:

Применяя общие формулы, решим каждую из поставленных задач:

1). Вычислим: = ∙ = = .

2). Преобразуем выражение: = =3 =3 .

3). Как в пункте 2): = =10 =10 .

Ответ: 1) , 2) 3 , 3) 10 .

Пример 2 – 106: Даны векторы = (3, – 1,2), = (1,2, – 1). Найти координаты векторных произведений: 1) , 2) , 3) .

Решение:

Применяя общие формулы, решим каждую из поставленных задач:

1).Воспользуемся формулой: , где:

, , → .

2). С учетом результата п. 1: .

3). С учетом п. 1: .

Замечание: преобразования в п. 1), 2), 3) учитывают свойства векторного произведения.

Ответ: 1): (–3,5,7); 2): (–6,10,14); 3): (–12,20,28).

Пример 3 – 115: Сила =(2,–4,5) приложена к точке =(4,–2,3). Определить момент этой силы относительно точки =(3,2,–1).

Решение:

Общие формулы: в физике моментом силы относительно неподвижной точки называют вектор, вычисляемый по формуле: = x = , где – радиус-вектор из точки в точку приложения силы (на самом деле, вместо точки приложения силы , может быть использована любая точка, принадлежащая линии действия этой силы).

Применяя общую формулу, запишем решение поставленной задачи:

1). Вычислим радиус-вектор: = = =(4,–2,3) –(3,2,–1)= (1,–4,4).

2). Вычислим вектор момента силы относительно неподвижной точки : = = , где: = =–4, =– =–3, = =4 → =(–4,3,4).

Ответ: моментом силы: =(–4,3,4).

Пример 4 – 127: Установить, образуют ли векторы: , , базис в множестве векторов пространства : 1) = (2,3,–1), = (1, – 1,3), = (1,9,–11),

2) = (3,–2,1), = (2,1,2), = (3,–1,–2).

Решение:

Общие формулы: известно, что векторы , , образуют базис, то есть независимы, если они не принадлежат одной плоскости или параллельным плоскостям; для проверки этого условия используют определитель = : если 0, то векторы независимы, если =0, то зависимы.

Применяя названный критерий, решим каждую из поставленных задач:

1). Вычислим определитель: = =2 –1 +1 =0. Следует: векторы не образуют базис.

2). Вычислим определитель: = =3 –2 +3 0. Следует: векторы образуют базис.

Ответ: для случаев: а) не образуют, б) образуют.

Пример 5 – 132: Вычислить объём тетраэдра , если = , = , = .

Решение:

Замечание: задачу можно было решать без рисунка (достоинство аналитической геометрии), но мы воспользуемся простым эскизом для побуждения зрительного образа решения задачи.

Алгоритм:

1) вспомним: объём пирамиды равен 1/3 объёма соответствующей призмы;

2) обозначим объём пирамиды – , а объём параллелепипеда, построенного на векторах = , = , = – ; вычислим = – величина объёма со знаком;

3) учтём, что =6 и запишем результат = .

Реализуем принятый алгоритм:

1). Вычислим смешанное произведение векторов , , :

= = =3 +0 +0 =–51.

2). Вычислим объём пирамиды: = = .

Ответ: объём пирамиды: = = .

•◄ Дополнительно ►•

Пример 6 – 100: Упростить выражения: 1) = ,

2) = ,

3) = ,

4) = ,

Решение:

Воспользуемся таблицей векторного умножения единичных ортогональных векторов :

	x i =0	x = –	x =
x = k	x =0	x = –i
x = –	x =	x =0

Замечание: использование цикла подсказывает результат: если в левой части пара букв названа в направлении движения по стрелке, то в правой части называем третью букву со знаком плюс, если пара букв названа против направления стрелки, то в правой части появляется знак минус.

1). Используя таблицу умножения, запишем: = = .

2). Упростим: = = .

3). Упростим: = = .

4). Используя таблицу умножения, запишем: = =3.

Ответ: выражения: 1) , 2) , 3) , 4) 3.

Пример 7 – 103: Векторы , и удовлетворяют условию: . Доказать, что верны равенства: .

Решение:

Аналитический способ:

1). Докажем, что: – доказано!

2). Докажем, что: – доказано!

Замечание: преобразования в пунктах 1) и 2) учитывают свойства векторного произведения.

Геометрический способ:

1). Векторное равенство: означает, что последовательная цепочка векторов , , замыкается в виде треугольника!

2). Это значит, что – удвоенная площадь треугольника, образованного векторами , , . На рисунках последовательно представлены векторные произведения: , , .

3). Так как в выражениях векторы , , применяются в соответствии с циклической перестановкой: , то , что завершает доказательство, так как теперь имеем !

Замечание: одновременное применение аналитического и геометрического способов делает за­дачу особенно привлекательной!

Ответ: доказательство представлено в тексте!

☻

Вопросы для самопроверки:

1. Что значит «тройка векторов , , »?

2. Какие свойства векторного произведения относят к геометрическим свойствам?

3. Какие свойства векторного произведения относят к алгебраическим свойствам?

4. Какой физический смысл векторного произведения (в механике)?

5. Как при помощи векторного произведения проверить, являются ли векторы , коллинеарными?

6. Как можно вычислить площадь «пространственного треугольника»?

7. Что такое векторно-скалярное (скалярно-векторное) произведение векторов , , ?

Дата добавления: 2014-12-26