ЗАНЯТИЕ 6. Контрольная работа №1. Прием части-1 БДЗ. 2 страница

8. Как можно вычислить высоту параллелепипеда, построенного на тройке векторов , , , приведенных к общему началу?

9. Как можно определить тип тройки векторов , , , заданных их декартовыми координатами?

10. Как проверить, являются ли векторы , , компланарными?

Задачи для самоподготовки:

Пример C3 – 1: Вычислить площадь треугольника с вершинами (1,1,1), (2,3,4), (4,3,2).

Ответ: площадь треугольника: =2 .

Пример C3 – 2: При каких значениях и вектор = коллинеарен вектору = , если =(3,–1,1) и =(1,2,0).

Ответ:значения: =–6, =21.

Пример C3 – 3: Силы =(2,–1,–3), =(3,2,–1), =(–4,1,3) приложены к точке =(–1,4,2). Определить суммарный момент сил относительно точки =(2,3,–1): вычислить величину и направляющие косинусы.

Ответ: =7 и = , =0, = .

Пример C3 – 4: Заданы векторы: =(1,–1,3), =(–2,2,1), =(3,–2,5). Вычислить . Какова ориентация троек: а) , , ; б) , , ; с) , , .

Ответ: в случаях: а) левая тройка, б) и в) тройки правые.

Пример C3 – 5: Доказать, что четыре точки: =(1,2,–1), =(0,1,5), =(–1,2,1), =(2,1,3) лежат в одной плоскости.

Ответ: доказано применением смешанного произведения: =0.

< * * * * * >

☺ ☻ ☺

Если на плоскости заданы точка и вектор , перпендикулярный прямой , то уравнение этой прямой можно записать в виде:

: = 0, (1)

уравнение (1) можно записать в виде: , или – общее уравнение прямой линии.

Если уравнение умножить на число: , причём выбирают знак , если , и знак , если , то получают запись: , которую называют уравнением прямой линии в нормальном виде. Нормализованное уравнение удобно применять при вычислении отклонения точки от прямой линии , определяемое выражением: = , и расстояния: .

Если заданы точки: , , принадлежащие , то уравнение прямой в этом случае удобно записать в виде: , где . В этом случае имеем: .

Если выбрать точки специально: , , то уравнение прямой линии можно записать в виде: – уравнение в отрезках.

Если прямая линия задана точкой и направляющим вектором , то уравнение записывают в виде: – каноническое уравнение.

Учитывая, что векторы = и = взаимно перпендикулярны, имея направляющий вектор прямой , мы можем записывать сразу:

, или , где = . (2)

Замечание: аналогично: имея вектор , можем сразу записать = , а потом выбирать вариант записи уравнения в общем виде или в канонической форме!

••• ≡ •••

Пример 1 – 141: Прямая линия задана точкой и вектором нормали = . Записать уравнение прямой в общем виде, привести к нормальному виду и определить расстояние от начала координат до прямой линии. Рассмотреть случаи: а) точка (–1,2), =(2,2); б) (2,1), =(2,0).

Решение:

Общие формулы: общее уравнение: , где = ; нормальное уравнение ; расстояние от точки до : , где ; в нашем примере .

1). Для случая а) имеем: общее уравнение можем записать в виде =0, или в виде =0; для нормализации общего уравнения вычислим = → нормальное уравнение: ·()=0 → отклонение = – → = .

2). Для случая б) имеем: общее уравнение можем записать в виде =0, или в виде =0; для нормализации общего уравнения вычислим =1 → нормальное уравнение: 1·()=0 → отклонение = –2→ = 2.

Ответ: в случае: а) уравнения: общее =0, нормальное ·()=0, = ; б) уравнения: общее =0, нормальное =0, =2.

Пример 2 – 142: Прямая линия задана точкой и направляющим вектором = . Записать уравнение прямой в общем виде, привести к нормальному виду и определить расстояние от начала координат до прямой линии. Рассмотреть случаи:

а) точка (–1,2), =(3,–1); б) (1,1), =(0,–1).

Решение:

Замечание: каждую новую задачу нужно попытаться решить, максимально используя уже отработанные средства и алгоритмы!

Общие формулы: учтём, что векторы = и = взаимно перпендикулярны; заменяем на = и далее применяем все выражения предыдущего Примера: общее уравнение , где = ; нормальное уравнение ; расстояние от точки до : , где ; в нашем примере .

1). Для случая а) имеем =(1,3): общее уравнение можем записать в виде =0, или в виде =0; для нормализации общего уравнения вычислим = → нормальное уравнение: ·()=0 → отклонение = – → = .

2). Для случая б) имеем =(1,0): общее уравнение можем записать в виде =0, или в виде =0; для нормализации общего уравнения вычислим =1 → нормальное уравнение: 1·()=0 → отклонение = –1→ =1.

Ответ: в случае: а) уравнения: общее =0, нормальное ·()=0, = ; б) уравнения: общее =0, нормальное =0, =1.

Пример 3 – 144: Задана прямая линия и точкой . Вычислить расстояние от точки до . Записать уравнение прямой , проходящей через точку перпендикулярно . Записать уравнение прямой , проходящей через точку параллельно . Рассмотреть случаи: а) : =0, точка (–1,2).

Решение:

Замечание: каждую новую задачу нужно попытаться решить, максимально используя уже отработанные средства и алгоритмы!

Общие формулы: имея уравнение прямой, записываем: = – вектор нормали и = – направляющий вектор, они взаимно перпендикулярны; векторы и будут использованы для построения прямой, проходящей через точку параллельно или перпендикулярно заданной прямой ; получение нормального уравнения и вычисление расстояние от точки до прямой выполняется также, как и в предыдущих примерах.

1). Для случая а) вычисляем = → нормальное уравнение: ·()=0 → отклонение = · =3→ = .

2). Первый способ. Прямая, перпендикулярная , должна иметь общее уравнение : =0, где коэффициент вычисляется из условия . Имеем =0 → =–3. Окончательно : =0. Второй способ. Из уравнения прямой следует направляющий вектор прямой , именно: = =(–2,1). После этого можем записать каноническое уравнение : .

3). Первый способ. Прямая, параллельная , должна иметь общее уравнение : =0, где коэффициент вычисляется из условия . Имеем =0 → =–4. Окончательно : =0. Второй способ. Из уравнения прямой следует направляющий вектор прямой , именно: = =(1,2). После этого можем записать каноническое уравнение : .

Ответ: в случае: а) расстояние от точки : = , уравнения : =0, : =0, или в каноническом виде : , : .

Пример 4 – 150: Треугольник задан координатами своих вершин. Записать уравнения прямых линий: , содержащей сторону треугольника , , содержащей высоту , биссектрис внутреннего и внешнего угла при вершине . Вычислить длину высоты = и угол между высотой и медианой . Рассмотреть случаи: а) (1,2), (2,–2), (6,1).

Дата добавления: 2014-12-26