ЗАНЯТИЕ 7. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Общие свойства кривых второго порядка. 2 страница

Директрисы гиперболы и определяются параметром . Асимптоты гиперболы определяют выражения: = ± .

Замечание: для принятого расположения фокусов ось называют действительной осью гиперболы, ось – мнимой осью.

••• ≡ •••

Пример 5 – 265: Задано уравнение линии второго порядка: . Показать, что линия есть гипербола, записать её каноническое уравнение. Найти: а) полуоси, б) координаты фокусов, в) эксцентриситет, г) уравнения директрис и асимптот.

Решение:

1). Перепишем уравнение: – это каноническое уравнение гиперболы с фокусами, расположенными на оси .

2). Полуоси гиперболы: =3, =4. Вычислим: = + =25. Это значит: = – левый фокус, = – правый фокус. Вычислим эксцентриситет: = = . Вычислим параметр директрисы: = = . Уравнения директрис : =– , : = . Уравнения асимптот выражением: = ± = ± .

Ответ: а) уравнение гиперболы , =3, =4; б) фокусы = , = ; в) эксцентриситет = ; г) директрисы : =– , : = , асимптоты: = ± .

Пример 6 – 269: Задано уравнение линии второго порядка. Показать, что линия есть гипербола, найти её центр и записать её каноническое уравнение. Найти: а) полуоси, б) координаты фокусов, в) эксцентриситет, г) уравнения директрис и асимптот.

Решение:

1). Перепишем уравнение: – это каноническое уравнение гиперболы с фокусами, расположенными на прямой линии =3, с центром в точке (2,–3).

2). Воспользуемся параллельным переносом системы координат: , . Тогда уравнение принимает канонический вид, для которого все величины можно переписать из Примера 5-265. Полуоси гиперболы: =3, =4. Вычислим: = + =25. Это значит: = – левый фокус, = – правый фокус. Вычислим эксцентриситет: = = . Вычислим параметр директрисы: = = . Уравнения директрис : =– , : = . Уравнения асимптот выражением: = ± = ± .

3). Учитывая , , запишем уравнения для старой системы координат: для директрис : = , : = и для асимптот +3 = ± . Фокусы: = , = .

Ответ: а) уравнение гиперболы , =3, =4; б) фокусы = , = ; в) эксцентриситет = ; г) директрисы : = , : = , асимптоты: +3 = ± .

☺ ☻ ☺

Парабола: геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до данной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до данной прямой, называемой директрисой.

В соответствии с определением параболы, отметим на плоскости точку – фокус и прямую : = – директрису:

Используя принятые на рисунке обозначения, в соответствии принятым определением параболы , легко получают каноническое уравнение параболы . (17)

Для параболы имеем: – эксцентриситет.

Замечание: рисунок и расположение директрисы и фокуса соответствуют случаю, когда и осью параболы является ось .

••• ≡ •••

Пример 7 – 285: Построить параболы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Найти параметр для каждой параболы.

Решение:

1). Перепишем уравнение: . Имеем параболу с параметром =2, причём график заданной параболы – это график параболы , смещённый вправо на 2.

2). Из уравнения: следует, что осью параболы является ось . Имеем параболу с параметром = , ветви параболы направлены вверх.

3). Из уравнения: следует, что осью параболы является ось . Имеем параболу с параметром =–2, причём график заданной параболы – это график параболы , симметрично отображённый относительно оси .

4). Из уравнения: следует, что осью параболы является ось . Имеем параболу с параметром =– , причём график заданной параболы – это график параболы , симметрично отображённый относительно оси .

•◄ Дополнительно ►•

Пример 8 – 274. Записать уравнение гиперболы, если известно, что её фокусами являются точки =(–3,–4) и =(3,4), а расстояние между директрисами равно 3,6.

Решение:

1). Легко заметить, что точки и расположены симметрично относительно начала координат и расстояние между ними равно 10. Так как известно, что заданная кривая есть гипербола, то воспользуемся системой координат , в которой фокусы и гиперболы располагаются на оси и имеют координаты: (–5,0) и (5,0).

2). Так как параметр директрисы = = , то из условия: = запишем =9. Теперь можем вычислить: = – =16 и записать каноническое уравнение гиперболы в системе координат : .

3). Система координат получена из системы координат поворотом относительно точки на угол , такой что: = и = . Воспользуемся формулами перехода: → (S)

Подставляя (S) в каноническое уравнение гиперболы: достаточно просто получаем уравнение заданной гиперболы в координатах : .

Ответ: уравнение гиперболы: .

Пример 9 – 293. Записать уравнение касательной к параболе , параллельной прямой линии: .

Решение:

1). Перепишем уравнение касательной: . Отсюда получаем угловой коэффициент касательной: =–1.

Замечание: можно было бы воспользоваться универсальными средствами математического анализа и выделить на параболе точку, в которой .

2). Воспользуемся готовым уравнением касательной к параболе в точке , именно: → .

3). В нашем случае =4. Тогда для точки получаем: =–1. Из равенства: получаем =2. Можем записать уравнение касательной: .

Ответ: уравнение касательной: .

☻

Вопросы для самопроверки:

1. Что такое окружность, эллипс?

2. Что такое гипербола?

3. Что такое парабола?

4. Что такое эксцентриситет кривой второго порядка?

5. Что такое директриса для кривой 2-го порядка?

< * * * * * >

Задачи для самоподготовки:

Пример C7 – 1: Написать уравнение диаметра окружности: , перпендикулярного прямой линии : .

Ответ: уравнение диаметра : .

Пример C7 – 2: Написать каноническое уравнение эллипса, если известно, что: 1) =3, =2; 2) =5, =4; 3) =3, = ; 4) =5, = ; 5) =2, 2 =5; 6) = , 2 =32.

Ответ: для случаев: 1) , 2) , 3) , 4) .

5) , 6) .

Пример C7 – 3: На эллипсе: найти точку, расстояние которой до фокуса в 4 раза больше расстояния до фокуса .

Ответ: точка: .

Пример C7 – 4: Написать уравнение кривой, по которой движется точка , если расстояние её до точки (3,0) остаётся в 2 раза меньше расстояния до прямой линии : .

Ответ: уравнение кривой линии : .

Пример C7 – 5: Задано уравнение линии второго порядка: . Показать, что линия есть гипербола, записать её каноническое уравнение. Найти: а) полуоси, б) координаты фокусов, в) эксцентриситет, г) уравнения директрис и асимптот.

Ответ: а) уравнение гиперболы , =4, =3; б) фокусы = , = ; в) эксцентриситет = ; г) директрисы : =– , : = , асимптоты: = ± .

Пример C7 – 6: Задано уравнение линии второго порядка. Показать, что линия есть гипербола, найти её центр и записать её каноническое уравнение. Найти: а) полуоси, б) координаты фокусов, в) эксцентриситет, г) уравнения директрис и асимптот.

Ответ: а) уравнение гиперболы , =8, =6; б) фокусы = , = ; в) эксцентриситет = ; г) директрисы : =– , : = , асимптоты: –1 = ± .

Пример C7 – 7: Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что: 1) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично оси и = ; 2) парабола расположена симметрично оси и проходит через точку (4,–8); 3) фокус параболы расположен в точке (0,–3).

Ответ: параболы: 1) , 2) , 2) .

< * * * * * >

Дата добавления: 2014-12-26